---

Step * 1 1 2 1 1 of Lemma mcompact_functionality_wrt_homeomorphic+


1. X : Type
2. Y : Type
3. d : metric(X)
4. d' : metric(Y)
5. f : FUN(Y ⟶ X)
6. g : FUN(X ⟶ Y)
7. [%6] : (∀x:Y. g (f x) ≡ x) ∧ (∀y:X. f (g y) ≡ y)
8. B : ℕ+
9. [%5] : ∀x1,x2:Y.  (mdist(d;f x1;f x2) ≤ (r(B) * mdist(d';x1;x2)))
10. ∀x:ℕ ⟶ X. (mcauchy(d;n.x n) ⇒ x n↓ as n→∞)
11. ∀k:ℕ. ∃n:ℕ+. ∃xs:ℕn ⟶ X. ∀x:X. ∃i:ℕn. (mdist(d;x;xs i) ≤ (r1/r(k + 1)))
12. x : ℕ ⟶ Y
13. mcauchy(d';n.x n)
14. y : X
15. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;f (x n);y) ≤ (r1/r(k)))))])
16. k : ℕ+
17. delta : {d:ℝ| r0 < d} 
18. ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(d';g x;g y) ≤ (r1/r(k))))
19. k1 : ℕ+
20. (r1/r(k1)) < delta
⊢ ∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d';x n;g y) ≤ (r1/r(k)))))]
BY
{ ((D -6 With ⌜k1⌝  THENA Auto) THEN RepeatFor 3 (ParallelLast)) }

1
1. X : Type
2. Y : Type
3. d : metric(X)
4. d' : metric(Y)
5. f : FUN(Y ⟶ X)
6. g : FUN(X ⟶ Y)
7. (∀x:Y. g (f x) ≡ x) ∧ (∀y:X. f (g y) ≡ y)
8. B : ℕ+
9. ∀x1,x2:Y.  (mdist(d;f x1;f x2) ≤ (r(B) * mdist(d';x1;x2)))
10. ∀x:ℕ ⟶ X. (mcauchy(d;n.x n) ⇒ x n↓ as n→∞)
11. ∀k:ℕ. ∃n:ℕ+. ∃xs:ℕn ⟶ X. ∀x:X. ∃i:ℕn. (mdist(d;x;xs i) ≤ (r1/r(k + 1)))
12. x : ℕ ⟶ Y
13. mcauchy(d';n.x n)
14. y : X
15. k : ℕ+
16. delta : {d:ℝ| r0 < d} 
17. ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(d';g x;g y) ≤ (r1/r(k))))
18. k1 : ℕ+
19. (r1/r(k1)) < delta
20. N : ℕ
21. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;f (x n);y) ≤ (r1/r(k1))))
22. n : ℕ
23. N ≤ n
24. mdist(d;f (x n);y) ≤ (r1/r(k1))
⊢ mdist(d';x n;g y) ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  Y  :  Type
3.  d  :  metric(X)
4.  d'  :  metric(Y)
5.  f  :  FUN(Y  {}\mrightarrow{}  X)
6.  g  :  FUN(X  {}\mrightarrow{}  Y)
7.  [\%6]  :  (\mforall{}x:Y.  g  (f  x)  \mequiv{}  x)  \mwedge{}  (\mforall{}y:X.  f  (g  y)  \mequiv{}  y)
8.  B  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  [\%5]  :  \mforall{}x1,x2:Y.    (mdist(d;f  x1;f  x2)  \mleq{}  (r(B)  *  mdist(d';x1;x2)))
10.  \mforall{}x:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  X.  (mcauchy(d;n.x  n)  {}\mRightarrow{}  x  n\mdownarrow{}  as  n\mrightarrow{}\minfty{})
11.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}xs:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  X.  \mforall{}x:X.  \mexists{}i:\mBbbN{}n.  (mdist(d;x;xs  i)  \mleq{}  (r1/r(k  +  1)))
12.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  Y
13.  mcauchy(d';n.x  n)
14.  y  :  X
15.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d;f  (x  n);y)  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
16.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
17.  delta  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
18.  \mforall{}x,y:X.    ((mdist(d;x;y)  \mleq{}  delta)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d';g  x;g  y)  \mleq{}  (r1/r(k))))
19.  k1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
20.  (r1/r(k1))  <  delta
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d';x  n;g  y)  \mleq{}  (r1/r(k)))))]


By

---

Latex:
((D  -6  With  \mkleeneopen{}k1\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  RepeatFor  3  (ParallelLast))

---

Home Index