---

Step * 1 1 1 of Lemma near-inverse-of-increasing-function


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. n : ℕ+
3. M : ℕ+
4. z : ℝ
5. [n@0] : ℕ
6. ∀[m:ℕn@0]
     ∀a,b:ℤ.
       ∀k:ℕ+
         (∃c:ℤ. (∃j:ℕ+ [((|f[(r(c))/j] - z| ≤ (r1/r(n))) ∧ ((r(a))/k ≤ (r(c))/j) ∧ ((r(c))/j ≤ (r(b))/k))])) supposing 
            ((z ≤ f[(r(b))/k]) and 
            (f[(r(a))/k] ≤ z) and 
            (∀x,y:ℝ.
               (((r(a))/k ≤ x)
               ⇒ (x < y)
               ⇒ (y ≤ (r(b))/k)
               ⇒ ((f[x] ≤ f[y]) ∧ (((y - x) ≤ (r1/r(M))) ⇒ ((f[y] - f[x]) ≤ (r1/r(n))))))) and 
            (((M * (b - a)) - k) ≤ m)) 
       supposing a < b
7. a : ℤ
8. b : ℤ
9. a < b
10. k : ℕ+
11. ((M * (b - a)) - k) ≤ n@0
12. ∀x,y:ℝ.
      (((r(a))/k ≤ x)
      ⇒ (x < y)
      ⇒ (y ≤ (r(b))/k)
      ⇒ ((f[x] ≤ f[y]) ∧ (((y - x) ≤ (r1/r(M))) ⇒ ((f[y] - f[x]) ≤ (r1/r(n))))))
13. f[(r(a))/k] ≤ z
14. z ≤ f[(r(b))/k]
15. (M * (b - a)) ≤ k
16. (f[(r(a))/k] ≤ f[(r(b))/k]) ∧ ((((r(b))/k - (r(a))/k) ≤ (r1/r(M))) ⇒ ((f[(r(b))/k] - f[(r(a))/k]) ≤ (r1/r(n))))
⊢ ∃c:ℤ. (∃j:ℕ+ [((|f[(r(c))/j] - z| ≤ (r1/r(n))) ∧ ((r(a))/k ≤ (r(c))/j) ∧ ((r(c))/j ≤ (r(b))/k))])
BY
{ (RepeatFor 2 (D -1) THENA (RWO "int-rdiv-req" 0 THEN Auto THEN nRMul ⌜r(k)⌝ 0⋅ THEN Auto)) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. n : ℕ+
3. M : ℕ+
4. z : ℝ
5. [n@0] : ℕ
6. ∀[m:ℕn@0]
     ∀a,b:ℤ.
       ∀k:ℕ+
         (∃c:ℤ. (∃j:ℕ+ [((|f[(r(c))/j] - z| ≤ (r1/r(n))) ∧ ((r(a))/k ≤ (r(c))/j) ∧ ((r(c))/j ≤ (r(b))/k))])) supposing 
            ((z ≤ f[(r(b))/k]) and 
            (f[(r(a))/k] ≤ z) and 
            (∀x,y:ℝ.
               (((r(a))/k ≤ x)
               ⇒ (x < y)
               ⇒ (y ≤ (r(b))/k)
               ⇒ ((f[x] ≤ f[y]) ∧ (((y - x) ≤ (r1/r(M))) ⇒ ((f[y] - f[x]) ≤ (r1/r(n))))))) and 
            (((M * (b - a)) - k) ≤ m)) 
       supposing a < b
7. a : ℤ
8. b : ℤ
9. a < b
10. k : ℕ+
11. ((M * (b - a)) - k) ≤ n@0
12. ∀x,y:ℝ.
      (((r(a))/k ≤ x)
      ⇒ (x < y)
      ⇒ (y ≤ (r(b))/k)
      ⇒ ((f[x] ≤ f[y]) ∧ (((y - x) ≤ (r1/r(M))) ⇒ ((f[y] - f[x]) ≤ (r1/r(n))))))
13. f[(r(a))/k] ≤ z
14. z ≤ f[(r(b))/k]
15. (M * (b - a)) ≤ k
16. f[(r(a))/k] ≤ f[(r(b))/k]
17. (f[(r(b))/k] - f[(r(a))/k]) ≤ (r1/r(n))
⊢ ∃c:ℤ. (∃j:ℕ+ [((|f[(r(c))/j] - z| ≤ (r1/r(n))) ∧ ((r(a))/k ≤ (r(c))/j) ∧ ((r(c))/j ≤ (r(b))/k))])

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  z  :  \mBbbR{}
5.  [n@0]  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}[m:\mBbbN{}n@0]
          \mforall{}a,b:\mBbbZ{}.
              \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}
                  (\mexists{}c:\mBbbZ{}
                      (\mexists{}j:\mBbbN{}\msupplus{}  [((|f[(r(c))/j]  -  z|  \mleq{}  (r1/r(n)))
                                    \mwedge{}  ((r(a))/k  \mleq{}  (r(c))/j)
                                    \mwedge{}  ((r(c))/j  \mleq{}  (r(b))/k))]))  supposing 
                        ((z  \mleq{}  f[(r(b))/k])  and 
                        (f[(r(a))/k]  \mleq{}  z)  and 
                        (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                              (((r(a))/k  \mleq{}  x)
                              {}\mRightarrow{}  (x  <  y)
                              {}\mRightarrow{}  (y  \mleq{}  (r(b))/k)
                              {}\mRightarrow{}  ((f[x]  \mleq{}  f[y])  \mwedge{}  (((y  -  x)  \mleq{}  (r1/r(M)))  {}\mRightarrow{}  ((f[y]  -  f[x])  \mleq{}  (r1/r(n)))))))  and 
                        (((M  *  (b  -  a))  -  k)  \mleq{}  m)) 
              supposing  a  <  b
7.  a  :  \mBbbZ{}
8.  b  :  \mBbbZ{}
9.  a  <  b
10.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  ((M  *  (b  -  a))  -  k)  \mleq{}  n@0
12.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
            (((r(a))/k  \mleq{}  x)
            {}\mRightarrow{}  (x  <  y)
            {}\mRightarrow{}  (y  \mleq{}  (r(b))/k)
            {}\mRightarrow{}  ((f[x]  \mleq{}  f[y])  \mwedge{}  (((y  -  x)  \mleq{}  (r1/r(M)))  {}\mRightarrow{}  ((f[y]  -  f[x])  \mleq{}  (r1/r(n))))))
13.  f[(r(a))/k]  \mleq{}  z
14.  z  \mleq{}  f[(r(b))/k]
15.  (M  *  (b  -  a))  \mleq{}  k
16.  (f[(r(a))/k]  \mleq{}  f[(r(b))/k])
\mwedge{}  ((((r(b))/k  -  (r(a))/k)  \mleq{}  (r1/r(M)))  {}\mRightarrow{}  ((f[(r(b))/k]  -  f[(r(a))/k])  \mleq{}  (r1/r(n))))
\mvdash{}  \mexists{}c:\mBbbZ{}.  (\mexists{}j:\mBbbN{}\msupplus{}  [((|f[(r(c))/j]  -  z|  \mleq{}  (r1/r(n)))  \mwedge{}  ((r(a))/k  \mleq{}  (r(c))/j)  \mwedge{}  ((r(c))/j  \mleq{}  (r(b))/k))])


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (D  -1)  THENA  (RWO  "int-rdiv-req"  0  THEN  Auto  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(k)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))

---

Home Index