---

Step * 1 2 of Lemma power-series-converges


1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. b : ℝ
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. N : ℕ
5. ∀n:{N...}. (|a[n + 1]| ≤ (|a[n]|/r))
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx((b - r, b + r);m))} 
7. ∃r':ℝ. ((r0 ≤ r') ∧ (r' < r) ∧ (∀x:{x:ℝ| x ∈ [(b - r) + (r1/r(m)), (b + r) - (r1/r(m))]} . (|x - b| ≤ r')))
⊢ ∃c:ℝ
   ((r0 ≤ c)
   ∧ (c < r1)
   ∧ (∃N:ℕ
       ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| (((b - r) + (r1/r(m))) ≤ x) ∧ (x ≤ ((b + r) - (r1/r(m))))} .
         (|a[n + 1] * x - b^n + 1| ≤ (c * |a[n] * x - b^n|))))
BY
{ (ExRepD
   THEN With ⌜(r'/r)⌝ (D 0)⋅
   THEN Auto
   THEN Try ((DVar `r' THEN Unhide THEN Auto THEN nRMul ⌜r⌝ 0⋅ THEN Auto)⋅)) }

1
1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. b : ℝ
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. N : ℕ
5. ∀n:{N...}. (|a[n + 1]| ≤ (|a[n]|/r))
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx((b - r, b + r);m))} 
7. r' : ℝ
8. r0 ≤ r'
9. r' < r
10. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [(b - r) + (r1/r(m)), (b + r) - (r1/r(m))]} . (|x - b| ≤ r')
11. r0 ≤ (r'/r)
12. (r'/r) < r1
⊢ ∃N:ℕ
   ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| (((b - r) + (r1/r(m))) ≤ x) ∧ (x ≤ ((b + r) - (r1/r(m))))} .
     (|a[n + 1] * x - b^n + 1| ≤ ((r'/r) * |a[n] * x - b^n|))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\} 
4.  N  :  \mBbbN{}
5.  \mforall{}n:\{N...\}.  (|a[n  +  1]|  \mleq{}  (|a[n]|/r))
6.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx((b  -  r,  b  +  r);m))\} 
7.  \mexists{}r':\mBbbR{}
        ((r0  \mleq{}  r')
        \mwedge{}  (r'  <  r)
        \mwedge{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(b  -  r)  +  (r1/r(m)),  (b  +  r)  -  (r1/r(m))]\}  .  (|x  -  b|  \mleq{}  r')))
\mvdash{}  \mexists{}c:\mBbbR{}
      ((r0  \mleq{}  c)
      \mwedge{}  (c  <  r1)
      \mwedge{}  (\mexists{}N:\mBbbN{}
              \mforall{}n:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (((b  -  r)  +  (r1/r(m)))  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  ((b  +  r)  -  (r1/r(m))))\}  .
                  (|a[n  +  1]  *  x  -  b\^{}n  +  1|  \mleq{}  (c  *  |a[n]  *  x  -  b\^{}n|))))


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  With  \mkleeneopen{}(r'/r)\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  Try  ((DVar  `r'  THEN  Unhide  THEN  Auto  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)\mcdot{}))

---

Home Index