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Step * 1 of Lemma punctured-ball-boundary-retraction


1. n : ℕ
2. p : ℝ^n
3. ||p|| < r1
4. n = 0 ∈ ℤ
⊢ Retract({x:ℝ^0| x ≠ p}  ⟶ {x:ℝ^0| ||x|| = r1} )
BY
{ ((Assert ¬{x:ℝ^0| x ≠ p}  BY
          ((D 0 THENA Auto) THEN D -1 THEN (RWO "real-vec-sep-iff-rneq" (-1) THENA Auto) THEN D -1 THEN Auto))
   THEN (Assert ¬{x:ℝ^0| ||x|| = r1}  BY
               ((D 0 THENA Auto)
                THEN D -1
                THEN RepUR ``real-vec-norm dot-product`` -1
                THEN (RWO "rsum-empty" (-1) THEN Auto)
                THEN (RWO "rsqrt0" (-1) THEN Auto)
                THEN RWO "req-int" (-1)
                THEN Auto))
   THEN D 0 With ⌜λx.x⌝ 
   THEN Reduce 0
   THEN Auto
   THEN D 0
   THEN Auto) }

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Latex:

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Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  ||p||  <  r1
4.  n  =  0
\mvdash{}  Retract(\{x:\mBbbR{}\^{}0|  x  \mneq{}  p\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}\^{}0|  ||x||  =  r1\}  )


By

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Latex:
((Assert  \mneg{}\{x:\mBbbR{}\^{}0|  x  \mneq{}  p\}    BY
                ((D  0  THENA  Auto)
                  THEN  D  -1
                  THEN  (RWO  "real-vec-sep-iff-rneq"  (-1)  THENA  Auto)
                  THEN  D  -1
                  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mneg{}\{x:\mBbbR{}\^{}0|  ||x||  =  r1\}    BY
                          ((D  0  THENA  Auto)
                            THEN  D  -1
                            THEN  RepUR  ``real-vec-norm  dot-product``  -1
                            THEN  (RWO  "rsum-empty"  (-1)  THEN  Auto)
                            THEN  (RWO  "rsqrt0"  (-1)  THEN  Auto)
                            THEN  RWO  "req-int"  (-1)
                            THEN  Auto))
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}x.x\mkleeneclose{} 
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto
  THEN  D  0
  THEN  Auto)

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