---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma rational-IVT


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
10. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
11. g[a] ≠ r0 ∧ g[b] ≠ r0
12. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((|a - y| ≤ d) ⇒ ((r0 < g[a] ⇐⇒ r0 < g[y]) ∧ (g[a] < r0 ⇐⇒ g[y] < r0)))
13. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((|b - y| ≤ d) ⇒ ((r0 < g[b] ⇐⇒ r0 < g[y]) ∧ (g[b] < r0 ⇐⇒ g[y] < r0)))
⊢ ∃n:ℕ+. ((above a within 1/n ≤ (below b within 1/n)) ∧ ((g[above a within 1/n] * g[(below b within 1/n)]) < r0))
BY
{ (ExRepD
   THEN (InstLemma `small-reciprocal-real` [⌜d⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (InstLemma `small-reciprocal-real` [⌜d1⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (InstLemma `small-reciprocal-real` [⌜b - a⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
10. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
11. g[a] ≠ r0
12. g[b] ≠ r0
13. d1 : {d:ℝ| r0 < d} 
14. ∀y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((|a - y| ≤ d1) ⇒ ((r0 < g[a] ⇐⇒ r0 < g[y]) ∧ (g[a] < r0 ⇐⇒ g[y] < r0)))
15. d : {d:ℝ| r0 < d} 
16. ∀y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((|b - y| ≤ d) ⇒ ((r0 < g[b] ⇐⇒ r0 < g[y]) ∧ (g[b] < r0 ⇐⇒ g[y] < r0)))
17. k2 : ℕ+
18. (r1/r(k2)) < d
19. k1 : ℕ+
20. (r1/r(k1)) < d1
21. k : ℕ+
22. (r1/r(k)) < (b - a)
⊢ ∃n:ℕ+. ((above a within 1/n ≤ (below b within 1/n)) ∧ ((g[above a within 1/n] * g[(below b within 1/n)]) < r0))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
4.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  a  <  b
6.  (g[a]  *  g[b])  <  r0
7.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y]))
8.  \mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(r)  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r])))
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>)  =  above  a  within  1/n)
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>)  =  (below  b  within  1/n))
11.  g[a]  \mneq{}  r0  \mwedge{}  g[b]  \mneq{}  r0
12.  \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
          \mforall{}y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
              ((|a  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  ((r0  <  g[a]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  g[y])  \mwedge{}  (g[a]  <  r0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  g[y]  <  r0)))
13.  \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
          \mforall{}y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
              ((|b  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  ((r0  <  g[b]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  g[y])  \mwedge{}  (g[b]  <  r0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  g[y]  <  r0)))
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
      ((above  a  within  1/n  \mleq{}  (below  b  within  1/n))
      \mwedge{}  ((g[above  a  within  1/n]  *  g[(below  b  within  1/n)])  <  r0))


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  (InstLemma  `small-reciprocal-real`  [\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `small-reciprocal-real`  [\mkleeneopen{}d1\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `small-reciprocal-real`  [\mkleeneopen{}b  -  a\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index