---

Step * 1 1 1 1 1 2 2 1 2 of Lemma rational-IVT


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
10. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
11. n : ℕ+
12. above a within 1/n ≤ (below b within 1/n)
13. (g[above a within 1/n] * g[(below b within 1/n)]) < r0
14. ((above b within 1/n - (r1/r(n))) ≤ b) ∧ (b ≤ above b within 1/n)
15. ((below a within 1/n) ≤ a) ∧ (a ≤ ((below a within 1/n) + (r1/r(n))))
16. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) ∈ [a, b]) ∧ (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) ∈ [a, b])
⊢ (ratreal(f[<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>]) * ratreal(f[<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>])) < r0
BY
{ (RWO "8<" 0 THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
10. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
11. n : ℕ+
12. above a within 1/n ≤ (below b within 1/n)
13. (g[above a within 1/n] * g[(below b within 1/n)]) < r0
14. (above b within 1/n - (r1/r(n))) ≤ b
15. b ≤ above b within 1/n
16. (below a within 1/n) ≤ a
17. a ≤ ((below a within 1/n) + (r1/r(n)))
18. ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) ∈ [a, b]
19. ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) ∈ [a, b]
⊢ (g[ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>)] * g[ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>)]) < r0

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
4.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  a  <  b
6.  (g[a]  *  g[b])  <  r0
7.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y]))
8.  \mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(r)  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r])))
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>)  =  above  a  within  1/n)
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>)  =  (below  b  within  1/n))
11.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  above  a  within  1/n  \mleq{}  (below  b  within  1/n)
13.  (g[above  a  within  1/n]  *  g[(below  b  within  1/n)])  <  r0
14.  ((above  b  within  1/n  -  (r1/r(n)))  \mleq{}  b)  \mwedge{}  (b  \mleq{}  above  b  within  1/n)
15.  ((below  a  within  1/n)  \mleq{}  a)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  ((below  a  within  1/n)  +  (r1/r(n))))
16.  (ratreal(<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>)  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (ratreal(<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>)  \mmember{}  [a,  b])
\mvdash{}  (ratreal(f[<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>])  *  ratreal(f[<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>]))  <  r0


By

---

Latex:
(RWO  "8<"  0  THEN  Auto)

---

Home Index