---

Step * 1 2 1 2 1 3 2 1 of Lemma rational-IVT


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. (((a ≤ ratreal(r)) ∧ (ratreal(r) ≤ b)) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[ra]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[rb])
17. rational-fun-zero(f;ra;rb) = rational-fun-zero(f;ra;rb) ∈ ℝ
18. ratreal(ra) ≤ rational-fun-zero(f;ra;rb)
19. rational-fun-zero(f;ra;rb) ≤ ratreal(rb)
20. g[rational-fun-zero(f;ra;rb)] = r0
21. a < rational-fun-zero(f;ra;rb)
22. g[b] ≠ r0
23. d : {d:ℝ| r0 < d} 
24. ∀y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((|b - y| ≤ d) ⇒ ((r0 < g[b] ⇐⇒ r0 < g[y]) ∧ (g[b] < r0 ⇐⇒ g[y] < r0)))
25. ¬(|b - rational-fun-zero(f;ra;rb)| ≤ d)
⊢ rational-fun-zero(f;ra;rb) < b
BY
{ (RWO "rabs-of-nonneg" (-1) THENA (Auto THEN nRAdd ⌜rational-fun-zero(f;ra;rb)⌝ 0⋅ THEN Auto)) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. (((a ≤ ratreal(r)) ∧ (ratreal(r) ≤ b)) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[ra]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[rb])
17. rational-fun-zero(f;ra;rb) = rational-fun-zero(f;ra;rb) ∈ ℝ
18. ratreal(ra) ≤ rational-fun-zero(f;ra;rb)
19. rational-fun-zero(f;ra;rb) ≤ ratreal(rb)
20. g[rational-fun-zero(f;ra;rb)] = r0
21. a < rational-fun-zero(f;ra;rb)
22. g[b] ≠ r0
23. d : {d:ℝ| r0 < d} 
24. ∀y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((|b - y| ≤ d) ⇒ ((r0 < g[b] ⇐⇒ r0 < g[y]) ∧ (g[b] < r0 ⇐⇒ g[y] < r0)))
25. ¬((b - rational-fun-zero(f;ra;rb)) ≤ d)
⊢ rational-fun-zero(f;ra;rb) < b

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
4.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  a  <  b
6.  (g[a]  *  g[b])  <  r0
7.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y]))
8.  \mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  (((a  \mleq{}  ratreal(r))  \mwedge{}  (ratreal(r)  \mleq{}  b))  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r])))
9.  ra  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  rb  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  a  \mleq{}  ratreal(ra)
12.  ratreal(ra)  \mleq{}  ratreal(rb)
13.  ratreal(rb)  \mleq{}  b
14.  ratreal(ratmul(f[ra];f[rb]))  <  r0
15.  ratreal(f[ra])  \mleq{}  r0
16.  r0  \mleq{}  ratreal(f[rb])
17.  rational-fun-zero(f;ra;rb)  =  rational-fun-zero(f;ra;rb)
18.  ratreal(ra)  \mleq{}  rational-fun-zero(f;ra;rb)
19.  rational-fun-zero(f;ra;rb)  \mleq{}  ratreal(rb)
20.  g[rational-fun-zero(f;ra;rb)]  =  r0
21.  a  <  rational-fun-zero(f;ra;rb)
22.  g[b]  \mneq{}  r0
23.  d  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
24.  \mforall{}y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  ((|b  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  ((r0  <  g[b]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  g[y])  \mwedge{}  (g[b]  <  r0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  g[y]  <  r0))\000C)
25.  \mneg{}(|b  -  rational-fun-zero(f;ra;rb)|  \mleq{}  d)
\mvdash{}  rational-fun-zero(f;ra;rb)  <  b


By

---

Latex:
(RWO  "rabs-of-nonneg"  (-1)  THENA  (Auto  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}rational-fun-zero(f;ra;rb)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))

---

Home Index