---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma real-fun-implies-sfun-general


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
4. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. f x ≠ f y
7. ∀z:{x:ℝ| x ∈ I} . ((¬(z = x)) ∨ (¬(z = y)))
8. z : ℝ
9. [rmin(x;y), rmax(x;y)] ⊆ I 
⊢ rmin(rmax(x;y);rmax(rmin(x;y);z)) ∈ {z:ℝ| z ∈ [rmin(x;y), rmax(x;y)]} 
BY
{ ((Assert rmin(x;y) ≤ rmax(x;y) BY
          Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConcl ⌜rmin(x;y) = a ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜rmax(x;y) = b ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
4. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. f x ≠ f y
7. ∀z:{x:ℝ| x ∈ I} . ((¬(z = x)) ∨ (¬(z = y)))
8. z : ℝ
9. [rmin(x;y), rmax(x;y)] ⊆ I 
10. a : ℝ
11. rmin(x;y) = a ∈ ℝ
12. b : ℝ
13. rmax(x;y) = b ∈ ℝ
⊢ (a ≤ b) ⇒ (rmin(b;rmax(a;z)) ∈ {z:ℝ| z ∈ [a, b]} )

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
4.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
5.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
6.  f  x  \mneq{}  f  y
7.  \mforall{}z:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  ((\mneg{}(z  =  x))  \mvee{}  (\mneg{}(z  =  y)))
8.  z  :  \mBbbR{}
9.  [rmin(x;y),  rmax(x;y)]  \msubseteq{}  I 
\mvdash{}  rmin(rmax(x;y);rmax(rmin(x;y);z))  \mmember{}  \{z:\mBbbR{}|  z  \mmember{}  [rmin(x;y),  rmax(x;y)]\} 


By

---

Latex:
((Assert  rmin(x;y)  \mleq{}  rmax(x;y)  BY
                Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}rmin(x;y)  =  a\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}rmax(x;y)  =  b\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index