---

Step * 1 1 1 1 1 1 2 1 1 of Lemma real-path-comp-exists


1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. g : [r0, r1] ⟶ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. f(r1) = g(r0)
6. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (rmin(t;(r1/r(2))) = t)
7. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (r(2) * t ∈ [r0, r1])
8. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) = f(r(2) * t))
9. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (rmax(t;(r1/r(2))) = t)
10. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . ((r(2) * t) - r1 ∈ [r0, r1])
11. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1) = g((r(2) * t) - r1))
12. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} . (f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) ∈ ℝ)
13. t : {x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} 
14. f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) ∈ ℝ
15. g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1) ∈ ℝ
16. ∀F:[r0, r1] ⟶ℝ
      ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (F(x) = F(y))))
      ⇒ (F((r1/r(2))) = r0)
      ⇒ (∀n:ℕ+. ∃m:ℕ+. ((|t - (r1/r(2))| ≤ (r1/r(m))) ⇒ (|F(t)| ≤ (r1/r(n))))))
17. t1 : {x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} 
⊢ (r(2) * rmax(t1;(r1/r(2)))) - r1 ∈ [r0, r1]
BY
{ (BHyp 10 THEN D -1 THEN MemTypeCD THEN Auto THEN All Reduce THEN Auto) }

1
1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. g : [r0, r1] ⟶ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. f(r1) = g(r0)
6. ∀t:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ (r1/r(2)))} . (rmin(t;(r1/r(2))) = t)
7. ∀t:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ (r1/r(2)))} . ((r0 ≤ (r(2) * t)) ∧ ((r(2) * t) ≤ r1))
8. ∀t:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ (r1/r(2)))} . (f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) = f(r(2) * t))
9. ∀t:{x:ℝ| ((r1/r(2)) ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (rmax(t;(r1/r(2))) = t)
10. ∀t:{x:ℝ| ((r1/r(2)) ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . ((r0 ≤ ((r(2) * t) - r1)) ∧ (((r(2) * t) - r1) ≤ r1))
11. ∀t:{x:ℝ| ((r1/r(2)) ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1) = g((r(2) * t) - r1))
12. ∀t:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) ∈ ℝ)
13. t : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
14. f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) ∈ ℝ
15. g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1) ∈ ℝ
16. ∀F:[r0, r1] ⟶ℝ
      ((∀x,y:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  ((x = y) ⇒ (F(x) = F(y))))
      ⇒ (F((r1/r(2))) = r0)
      ⇒ (∀n:ℕ+. ∃m:ℕ+. ((|t - (r1/r(2))| ≤ (r1/r(m))) ⇒ (|F(t)| ≤ (r1/r(n))))))
17. t1 : ℝ
18. r0 ≤ t1
19. t1 ≤ r1
20. (r1/r(2)) ≤ rmax(t1;(r1/r(2)))
⊢ rmax(t1;(r1/r(2))) ≤ r1

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  [r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
2.  g  :  [r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y)))
4.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g(x)  =  g(y)))
5.  f(r1)  =  g(r0)
6.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  (rmin(t;(r1/r(2)))  =  t)
7.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  (r(2)  *  t  \mmember{}  [r0,  r1])
8.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  (f(r(2)  *  rmin(t;(r1/r(2))))  =  f(r(2)  *  t))
9.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\}  .  (rmax(t;(r1/r(2)))  =  t)
10.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\}  .  ((r(2)  *  t)  -  r1  \mmember{}  [r0,  r1])
11.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\}  .  (g((r(2)  *  rmax(t;(r1/r(2))))  -  r1)  =  g((r(2)  *  t)  -  r1))
12.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .  (f(r(2)  *  rmin(t;(r1/r(2))))  \mmember{}  \mBbbR{})
13.  t  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\} 
14.  f(r(2)  *  rmin(t;(r1/r(2))))  \mmember{}  \mBbbR{}
15.  g((r(2)  *  rmax(t;(r1/r(2))))  -  r1)  \mmember{}  \mBbbR{}
16.  \mforall{}F:[r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
            ((\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F(x)  =  F(y))))
            {}\mRightarrow{}  (F((r1/r(2)))  =  r0)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((|t  -  (r1/r(2))|  \mleq{}  (r1/r(m)))  {}\mRightarrow{}  (|F(t)|  \mleq{}  (r1/r(n))))))
17.  t1  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\} 
\mvdash{}  (r(2)  *  rmax(t1;(r1/r(2))))  -  r1  \mmember{}  [r0,  r1]


By

---

Latex:
(BHyp  10  THEN  D  -1  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto  THEN  All  Reduce  THEN  Auto)

---

Home Index