---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma real-subset-connected


1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. SqStable(X x)
3. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  ((X y) ⇒ (X x))
4. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
5. ∀Q:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹. ∃Q':ℝ ⟶ 𝔹. ∀x:{x:ℝ| X x} . Q' x = Q x
6. [A] : {x:ℝ| X x}  ⟶ ℙ
7. [B] : {x:ℝ| X x}  ⟶ ℙ
8. ∀x:{x:ℝ| X x} . ∀y:{y:{x:ℝ| X x} | x = y} .  (A[y] ⇒ A[x])
9. ∀x:{x:ℝ| X x} . ∀y:{y:{x:ℝ| X x} | x = y} .  (B[y] ⇒ B[x])
10. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
11. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
12. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ⇒ A[x])
13. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(b x)) ⇒ B[x])
14. x2 : {x:ℝ| X x} 
15. ↑(a x2)
16. x1 : {x:ℝ| X x} 
17. ↑(b x1)
18. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
19. aa : ℝ ⟶ 𝔹
20. ∀x:{x:ℝ| X x} . aa x = a x
21. bb : ℝ ⟶ 𝔹
22. ∀x:{x:ℝ| X x} . bb x = b x
23. x : ℝ
24. ∀k:ℕ+. ∃y:ℝ. ((y = x ∈ (ℕ+k ⟶ ℤ)) ∧ (X y))
⊢ aa accelerate(3;x) = tt ∨ bb accelerate(3;x) = tt
BY
{ Assert ⌜∀k:ℕ+. ∃y:ℝ. ((y = accelerate(3;x) ∈ (ℕ+k ⟶ ℤ)) ∧ (X y))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. SqStable(X x)
3. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  ((X y) ⇒ (X x))
4. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
5. ∀Q:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹. ∃Q':ℝ ⟶ 𝔹. ∀x:{x:ℝ| X x} . Q' x = Q x
6. [A] : {x:ℝ| X x}  ⟶ ℙ
7. [B] : {x:ℝ| X x}  ⟶ ℙ
8. ∀x:{x:ℝ| X x} . ∀y:{y:{x:ℝ| X x} | x = y} .  (A[y] ⇒ A[x])
9. ∀x:{x:ℝ| X x} . ∀y:{y:{x:ℝ| X x} | x = y} .  (B[y] ⇒ B[x])
10. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
11. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
12. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ⇒ A[x])
13. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(b x)) ⇒ B[x])
14. x2 : {x:ℝ| X x} 
15. ↑(a x2)
16. x1 : {x:ℝ| X x} 
17. ↑(b x1)
18. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
19. aa : ℝ ⟶ 𝔹
20. ∀x:{x:ℝ| X x} . aa x = a x
21. bb : ℝ ⟶ 𝔹
22. ∀x:{x:ℝ| X x} . bb x = b x
23. x : ℝ
24. ∀k:ℕ+. ∃y:ℝ. ((y = x ∈ (ℕ+k ⟶ ℤ)) ∧ (X y))
⊢ ∀k:ℕ+. ∃y:ℝ. ((y = accelerate(3;x) ∈ (ℕ+k ⟶ ℤ)) ∧ (X y))

2
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. SqStable(X x)
3. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  ((X y) ⇒ (X x))
4. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
5. ∀Q:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹. ∃Q':ℝ ⟶ 𝔹. ∀x:{x:ℝ| X x} . Q' x = Q x
6. [A] : {x:ℝ| X x}  ⟶ ℙ
7. [B] : {x:ℝ| X x}  ⟶ ℙ
8. ∀x:{x:ℝ| X x} . ∀y:{y:{x:ℝ| X x} | x = y} .  (A[y] ⇒ A[x])
9. ∀x:{x:ℝ| X x} . ∀y:{y:{x:ℝ| X x} | x = y} .  (B[y] ⇒ B[x])
10. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
11. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
12. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ⇒ A[x])
13. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(b x)) ⇒ B[x])
14. x2 : {x:ℝ| X x} 
15. ↑(a x2)
16. x1 : {x:ℝ| X x} 
17. ↑(b x1)
18. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
19. aa : ℝ ⟶ 𝔹
20. ∀x:{x:ℝ| X x} . aa x = a x
21. bb : ℝ ⟶ 𝔹
22. ∀x:{x:ℝ| X x} . bb x = b x
23. x : ℝ
24. ∀k:ℕ+. ∃y:ℝ. ((y = x ∈ (ℕ+k ⟶ ℤ)) ∧ (X y))
25. ∀k:ℕ+. ∃y:ℝ. ((y = accelerate(3;x) ∈ (ℕ+k ⟶ ℤ)) ∧ (X y))
⊢ aa accelerate(3;x) = tt ∨ bb accelerate(3;x) = tt

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  SqStable(X  x)
3.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}y:\{y:\mBbbR{}|  x  =  y\}  .    ((X  y)  {}\mRightarrow{}  (X  x))
4.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
5.  \mforall{}Q:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}Q':\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  Q'  x  =  Q  x
6.  [A]  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  [B]  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  \mforall{}y:\{y:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  |  x  =  y\}  .    (A[y]  {}\mRightarrow{}  A[x])
9.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  \mforall{}y:\{y:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  |  x  =  y\}  .    (B[y]  {}\mRightarrow{}  B[x])
10.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
11.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
12.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  {}\mRightarrow{}  A[x])
13.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(b  x))  {}\mRightarrow{}  B[x])
14.  x2  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
15.  \muparrow{}(a  x2)
16.  x1  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
17.  \muparrow{}(b  x1)
18.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x)))
19.  aa  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
20.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  aa  x  =  a  x
21.  bb  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
22.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  bb  x  =  b  x
23.  x  :  \mBbbR{}
24.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}y:\mBbbR{}.  ((y  =  x)  \mwedge{}  (X  y))
\mvdash{}  aa  accelerate(3;x)  =  tt  \mvee{}  bb  accelerate(3;x)  =  tt


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}y:\mBbbR{}.  ((y  =  accelerate(3;x))  \mwedge{}  (X  y))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index