---

Step * 2 1 of Lemma reals-connected


1. [A] : ℝ ⟶ ℙ
2. [B] : ℝ ⟶ ℙ
3. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  (A[y] ⇒ A[x])
4. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  (B[y] ⇒ B[x])
5. ∀a,b:ℝ ⟶ 𝔹.
     ((∀x:ℝ. ((↑(a x)) ⇒ A[x]))
     ⇒ (∀x:ℝ. ((↑(b x)) ⇒ B[x]))
     ⇒ (∃x:ℝ. (↑(a x)))
     ⇒ (∃x:ℝ. (↑(b x)))
     ⇒ (∀x:ℝ. ((↑(a x)) ∨ (↑(b x))))
     ⇒ (∃r:ℝ. (A[r] ∧ B[r])))
6. a : ℝ
7. A[a]
8. b : ℝ
9. B[b]
10. d : r:ℝ ⟶ (A[r] ∨ B[r])
⊢ ∃r:ℝ. (A[r] ∧ B[r])
BY
{ ((D 5 With ⌜λx.isl(d x)⌝  THENA Auto) THEN (D -1 With ⌜λx.isr(d x)⌝  THENA Auto) THEN Reduce -1) }

1
1. [A] : ℝ ⟶ ℙ
2. [B] : ℝ ⟶ ℙ
3. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  (A[y] ⇒ A[x])
4. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  (B[y] ⇒ B[x])
5. a : ℝ
6. A[a]
7. b : ℝ
8. B[b]
9. d : r:ℝ ⟶ (A[r] ∨ B[r])
10. (∀x:ℝ. ((↑isl(d x)) ⇒ A[x]))
⇒ (∀x:ℝ. ((↑isr(d x)) ⇒ B[x]))
⇒ (∃x:ℝ. (↑isl(d x)))
⇒ (∃x:ℝ. (↑isr(d x)))
⇒ (∀x:ℝ. ((↑isl(d x)) ∨ (↑isr(d x))))
⇒ (∃r:ℝ. (A[r] ∧ B[r]))
⊢ ∃r:ℝ. (A[r] ∧ B[r])

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  [B]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}y:\{y:\mBbbR{}|  x  =  y\}  .    (A[y]  {}\mRightarrow{}  A[x])
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}y:\{y:\mBbbR{}|  x  =  y\}  .    (B[y]  {}\mRightarrow{}  B[x])
5.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
          ((\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((\muparrow{}(a  x))  {}\mRightarrow{}  A[x]))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((\muparrow{}(b  x))  {}\mRightarrow{}  B[x]))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}.  (\muparrow{}(a  x)))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}.  (\muparrow{}(b  x)))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x))))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}r:\mBbbR{}.  (A[r]  \mwedge{}  B[r])))
6.  a  :  \mBbbR{}
7.  A[a]
8.  b  :  \mBbbR{}
9.  B[b]
10.  d  :  r:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  (A[r]  \mvee{}  B[r])
\mvdash{}  \mexists{}r:\mBbbR{}.  (A[r]  \mwedge{}  B[r])


By

---

Latex:
((D  5  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}x.isl(d  x)\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}x.isr(d  x)\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  Reduce  -1)

---

Home Index