---

Step * 2 2 2 2 1 1 1 1 1 of Lemma rinv-limit


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. a : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - a| ≤ (r1/r(k)))))])
4. ∀n:ℕ. x[n] ≠ r0
5. a ≠ r0
6. ∀n:ℕ. ((|a| - |x[n] - a|) ≤ |x[n]|)
7. ∀large(n).{|x[n] - a| < (|a|/r(2))}
8. ∀large(n).{(|a|/r(2)) < |x[n]|}
9. k : ℕ+
10. ∀large(n).{|x[n] - a| < (|a| * |a|/r(2 * k))}
11. N : ℕ
12. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ ((|x[n] - a| < (|a| * |a|/r(2 * k))) ∧ ((|a|/r(2)) < |x[n]|)))
13. n : ℕ
14. N ≤ n
15. |x[n] - a| < (|a| * |a|/r(2 * k))
16. (|a|/r(2)) < |x[n]|
17. r0 < |a|
18. |a| ≠ r0
⊢ |(r1/x[n]) * (r1/a)| ≤ (r(2)/|a| * |a|)
BY
{ (Assert r0 < (|a| * |a|) BY
         (nRMul ⌜|a|⌝ (-2)⋅ THEN Auto))⋅ }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. a : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - a| ≤ (r1/r(k)))))])
4. ∀n:ℕ. x[n] ≠ r0
5. a ≠ r0
6. ∀n:ℕ. ((|a| - |x[n] - a|) ≤ |x[n]|)
7. ∀large(n).{|x[n] - a| < (|a|/r(2))}
8. ∀large(n).{(|a|/r(2)) < |x[n]|}
9. k : ℕ+
10. ∀large(n).{|x[n] - a| < (|a| * |a|/r(2 * k))}
11. N : ℕ
12. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ ((|x[n] - a| < (|a| * |a|/r(2 * k))) ∧ ((|a|/r(2)) < |x[n]|)))
13. n : ℕ
14. N ≤ n
15. |x[n] - a| < (|a| * |a|/r(2 * k))
16. (|a|/r(2)) < |x[n]|
17. r0 < |a|
18. |a| ≠ r0
19. r0 < (|a| * |a|)
⊢ |(r1/x[n]) * (r1/a)| ≤ (r(2)/|a| * |a|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  a  :  \mBbbR{}
3.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  a|  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  x[n]  \mneq{}  r0
5.  a  \mneq{}  r0
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((|a|  -  |x[n]  -  a|)  \mleq{}  |x[n]|)
7.  \mforall{}large(n).\{|x[n]  -  a|  <  (|a|/r(2))\}
8.  \mforall{}large(n).\{(|a|/r(2))  <  |x[n]|\}
9.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  \mforall{}large(n).\{|x[n]  -  a|  <  (|a|  *  |a|/r(2  *  k))\}
11.  N  :  \mBbbN{}
12.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  ((|x[n]  -  a|  <  (|a|  *  |a|/r(2  *  k)))  \mwedge{}  ((|a|/r(2))  <  |x[n]|)))
13.  n  :  \mBbbN{}
14.  N  \mleq{}  n
15.  |x[n]  -  a|  <  (|a|  *  |a|/r(2  *  k))
16.  (|a|/r(2))  <  |x[n]|
17.  r0  <  |a|
18.  |a|  \mneq{}  r0
\mvdash{}  |(r1/x[n])  *  (r1/a)|  \mleq{}  (r(2)/|a|  *  |a|)


By

---

Latex:
(Assert  r0  <  (|a|  *  |a|)  BY
              (nRMul  \mkleeneopen{}|a|\mkleeneclose{}  (-2)\mcdot{}  THEN  Auto))\mcdot{}

---

Home Index