---

Step * 1 1 of Lemma rv-circle-circle-lemma3


1. n : {2...}
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. d : ℝ^n
6. p : {p:ℝ^n| d(a;b) = d(a;p)} 
7. q : {q:ℝ^n| d(c;d) = d(c;q)} 
8. i : {x:ℝ^n| (d(c;p) = d(c;x)) ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
9. o : {y:ℝ^n| (d(a;q) = d(a;y)) ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
10. a ≠ c
11. (d(c;p) = d(c;i)) ∧ (¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d)))
12. (d(a;q) = d(a;o)) ∧ (¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b)))
⊢ ∃u,v:{p:ℝ^n| (d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;p))} . (((d(a;o) < d(a;b)) ∧ (d(c;i) < d(c;d))) ⇒ u ≠ v)
BY
{ Assert ⌜∀x,y,z:ℝ^n.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. n : {2...}
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. d : ℝ^n
6. p : {p:ℝ^n| d(a;b) = d(a;p)} 
7. q : {q:ℝ^n| d(c;d) = d(c;q)} 
8. i : {x:ℝ^n| (d(c;p) = d(c;x)) ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
9. o : {y:ℝ^n| (d(a;q) = d(a;y)) ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
10. a ≠ c
11. (d(c;p) = d(c;i)) ∧ (¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d)))
12. (d(a;q) = d(a;o)) ∧ (¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b)))
⊢ ∀x,y,z:ℝ^n.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))

2
1. n : {2...}
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. d : ℝ^n
6. p : {p:ℝ^n| d(a;b) = d(a;p)} 
7. q : {q:ℝ^n| d(c;d) = d(c;q)} 
8. i : {x:ℝ^n| (d(c;p) = d(c;x)) ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
9. o : {y:ℝ^n| (d(a;q) = d(a;y)) ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
10. a ≠ c
11. (d(c;p) = d(c;i)) ∧ (¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d)))
12. (d(a;q) = d(a;o)) ∧ (¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b)))
13. ∀x,y,z:ℝ^n.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))
⊢ ∃u,v:{p:ℝ^n| (d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;p))} . (((d(a;o) < d(a;b)) ∧ (d(c;i) < d(c;d))) ⇒ u ≠ v)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \{2...\}
2.  a  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  c  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  d  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  p  :  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  d(a;b)  =  d(a;p)\} 
7.  q  :  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  d(c;d)  =  d(c;q)\} 
8.  i  :  \{x:\mBbbR{}\^{}n|  (d(c;p)  =  d(c;x))  \mwedge{}  (\mneg{}(c  \mneq{}  x  \mwedge{}  x  \mneq{}  d  \mwedge{}  (\mneg{}c-x-d)))\} 
9.  o  :  \{y:\mBbbR{}\^{}n|  (d(a;q)  =  d(a;y))  \mwedge{}  (\mneg{}(a  \mneq{}  y  \mwedge{}  y  \mneq{}  b  \mwedge{}  (\mneg{}a-y-b)))\} 
10.  a  \mneq{}  c
11.  (d(c;p)  =  d(c;i))  \mwedge{}  (\mneg{}(c  \mneq{}  i  \mwedge{}  i  \mneq{}  d  \mwedge{}  (\mneg{}c-i-d)))
12.  (d(a;q)  =  d(a;o))  \mwedge{}  (\mneg{}(a  \mneq{}  o  \mwedge{}  o  \mneq{}  b  \mwedge{}  (\mneg{}a-o-b)))
\mvdash{}  \mexists{}u,v:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  (d(a;b)  =  d(a;p))  \mwedge{}  (d(c;d)  =  d(c;p))\} 
      (((d(a;o)  <  d(a;b))  \mwedge{}  (d(c;i)  <  d(c;d)))  {}\mRightarrow{}  u  \mneq{}  v)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}x,y,z:\mBbbR{}\^{}n.    (d(x;y)  =  d(x;z)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  ||z  -  x||  =  d(x;y))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index