---

Step * 2 1 1 2 of Lemma rv-circle-circle-lemma


1. n : ℕ
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : ℝ^n
5. r0 < ||b||
6. b' : ℝ^n
7. b⋅b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. cc : ℝ
10. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
11. cc^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. x : ℝ^n
17. req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b')
⊢ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'⋅(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b' = r1^2
BY
{ (((Assert b⋅b' = r0 BY Hypothesis) THEN DupHyp (-1) THEN (RWO "dot-product-comm" (-1) THENA Auto))
   THEN (RWW  "dot-product-linearity2.1 dot-product-linearity2.2" 0⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConclAtAddr [1;2;2] ⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (nRMul ⌜||b||^2⌝ 0⋅)
   THEN (RWO  "-1<" 0 THENA Auto)
   THEN (RWW  "dot-product-linearity1.1 dot-product-linearity1.2" 0 THENA Auto)
   THEN (RWW  "dot-product-linearity1-sub.1 dot-product-linearity1-sub.2" 0 THENA Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : ℝ^n
5. r0 < ||b||
6. b' : ℝ^n
7. b⋅b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. cc : ℝ
10. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
11. cc^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. x : ℝ^n
17. req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b')
18. b⋅b' = r0
19. b'⋅b = r0
20. v1 : ℝ
21. (cc/r(2))*b - v*b'⋅(cc/r(2))*b - v*b' = v1 ∈ ℝ
⊢ ((cc/r(2))*b⋅(cc/r(2))*b - (cc/r(2))*b⋅v*b' - v*b'⋅(cc/r(2))*b - v*b'⋅v*b') = (||b||^2 * ||b||^2 * r1^2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  r1  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
3.  r2  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
4.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  r0  <  ||b||
6.  b'  :  \mBbbR{}\^{}n
7.  b\mcdot{}b'  =  r0
8.  ||b'||  =  ||b||
9.  cc  :  \mBbbR{}
10.  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2)  =  cc
11.  cc\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2)
12.  r0  \mleq{}  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)
13.  r0  <  ||b||\^{}2
14.  v  :  \{r:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  ((r  *  r)  =  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2))\} 
15.  rsqrt((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)  =  v
16.  x  :  \mBbbR{}\^{}n
17.  req-vec(n;x;(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b')
\mvdash{}  (r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b'\mcdot{}(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b'  =  r1\^{}2


By

---

Latex:
(((Assert  b\mcdot{}b'  =  r0  BY  Hypothesis)  THEN  DupHyp  (-1)  THEN  (RWO  "dot-product-comm"  (-1)  THENA  Auto))
  THEN  (RWW    "dot-product-linearity2.1  dot-product-linearity2.2"  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConclAtAddr  [1;2;2]  \mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (nRMul  \mkleeneopen{}||b||\^{}2\mkleeneclose{}  0\mcdot{})
  THEN  (RWO    "-1<"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWW    "dot-product-linearity1.1  dot-product-linearity1.2"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWW    "dot-product-linearity1-sub.1  dot-product-linearity1-sub.2"  0  THENA  Auto))

---

Home Index