Step
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of Lemma
rv-line-circle-0
1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. p : ℝ^n
5. q : ℝ^n
6. p ≠ q
7. d(a;p) ≤ d(a;b)
8. d(a;b) ≤ d(a;q)
9. pp : ℝ^n
10. p - a = pp ∈ ℝ^n
11. qq : ℝ^n
12. q - a = qq ∈ ℝ^n
13. (d(a;p) < d(a;b)) ⇒ (||pp|| < d(a;b))
14. ||pp|| ≤ d(a;b)
15. (d(a;b) < d(a;q)) ⇒ (d(a;b) < ||qq||)
16. d(a;b) ≤ ||qq||
17. pp ≠ qq
18. r0 < ||qq - pp||
19. r0 < ||qq - pp||^2
20. r0 ≤ (((r(2) * pp⋅qq - pp) * r(2) * pp⋅qq - pp) - r(4) * ||qq - pp||^2 * (||pp||^2 - d(a;b)^2))
21. ||pp + quadratic1(||qq - pp||^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp|| = d(a;b)
22. ||pp + quadratic2(||qq - pp||^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp|| = d(a;b)
23. v : ℝ
24. r0 ≤ v
25. rsqrt(((r(2) * pp⋅qq - pp) * r(2) * pp⋅qq - pp) - r(4) * ||qq - pp||^2 * (||pp||^2 - d(a;b)^2))
= v
∈ {r:ℝ|
(r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = (((r(2) * pp⋅qq - pp) * r(2) * pp⋅qq - pp) - r(4) * ||qq - pp||^2 * (||pp||^2 - d(a;b)^2)))}
26. v1 : ℝ
27. (r(2) * ||qq - pp||^2) = v1 ∈ ℝ
28. r0 < v1
29. v2 : ℝ^n
30. qq - pp = v2 ∈ ℝ^n
31. v^2 = (r(2) * pp⋅v2^2 - r(4) * ||v2||^2 * (||pp||^2 - d(a;b)^2))
32. v3 : ℝ
33. r(2) * pp⋅v2^2 = v3 ∈ ℝ
⊢ v3 ≤ (v3 - r(4) * ||v2||^2 * (||pp||^2 - d(a;b)^2))
BY
{ ((RWO "rmul-assoc" 0 THENA Auto)
THEN (Assert r0 ≤ ||v2||^2 BY
Auto)
THEN nRMul ⌜r(4)⌝ (-1)⋅
THEN MoveToConcl (-1)
THEN (GenConclTerm ⌜r(4) * ||v2||^2⌝⋅ THENA Auto)) }
1
1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. p : ℝ^n
5. q : ℝ^n
6. p ≠ q
7. d(a;p) ≤ d(a;b)
8. d(a;b) ≤ d(a;q)
9. pp : ℝ^n
10. p - a = pp ∈ ℝ^n
11. qq : ℝ^n
12. q - a = qq ∈ ℝ^n
13. (d(a;p) < d(a;b)) ⇒ (||pp|| < d(a;b))
14. ||pp|| ≤ d(a;b)
15. (d(a;b) < d(a;q)) ⇒ (d(a;b) < ||qq||)
16. d(a;b) ≤ ||qq||
17. pp ≠ qq
18. r0 < ||qq - pp||
19. r0 < ||qq - pp||^2
20. r0 ≤ (((r(2) * pp⋅qq - pp) * r(2) * pp⋅qq - pp) - r(4) * ||qq - pp||^2 * (||pp||^2 - d(a;b)^2))
21. ||pp + quadratic1(||qq - pp||^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp|| = d(a;b)
22. ||pp + quadratic2(||qq - pp||^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp|| = d(a;b)
23. v : ℝ
24. r0 ≤ v
25. rsqrt(((r(2) * pp⋅qq - pp) * r(2) * pp⋅qq - pp) - r(4) * ||qq - pp||^2 * (||pp||^2 - d(a;b)^2))
= v
∈ {r:ℝ|
(r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = (((r(2) * pp⋅qq - pp) * r(2) * pp⋅qq - pp) - r(4) * ||qq - pp||^2 * (||pp||^2 - d(a;b)^2)))}
26. v1 : ℝ
27. (r(2) * ||qq - pp||^2) = v1 ∈ ℝ
28. r0 < v1
29. v2 : ℝ^n
30. qq - pp = v2 ∈ ℝ^n
31. v^2 = (r(2) * pp⋅v2^2 - r(4) * ||v2||^2 * (||pp||^2 - d(a;b)^2))
32. v3 : ℝ
33. r(2) * pp⋅v2^2 = v3 ∈ ℝ
34. v4 : ℝ
35. (r(4) * ||v2||^2) = v4 ∈ ℝ
⊢ (r0 ≤ v4) ⇒ (v3 ≤ (v3 - v4 * (||pp||^2 - d(a;b)^2)))
Latex:
Latex:
1. n : \mBbbN{}
2. a : \mBbbR{}\^{}n
3. b : \mBbbR{}\^{}n
4. p : \mBbbR{}\^{}n
5. q : \mBbbR{}\^{}n
6. p \mneq{} q
7. d(a;p) \mleq{} d(a;b)
8. d(a;b) \mleq{} d(a;q)
9. pp : \mBbbR{}\^{}n
10. p - a = pp
11. qq : \mBbbR{}\^{}n
12. q - a = qq
13. (d(a;p) < d(a;b)) {}\mRightarrow{} (||pp|| < d(a;b))
14. ||pp|| \mleq{} d(a;b)
15. (d(a;b) < d(a;q)) {}\mRightarrow{} (d(a;b) < ||qq||)
16. d(a;b) \mleq{} ||qq||
17. pp \mneq{} qq
18. r0 < ||qq - pp||
19. r0 < ||qq - pp||\^{}2
20. r0 \mleq{} (((r(2) * pp\mcdot{}qq - pp) * r(2) * pp\mcdot{}qq - pp) - r(4) * ||qq - pp||\^{}2 * (||pp||\^{}2 - d(a;b)\^{}2))
21. ||pp + quadratic1(||qq - pp||\^{}2;r(2) * pp\mcdot{}qq - pp;||pp||\^{}2 - d(a;b)\^{}2)*qq - pp|| = d(a;b)
22. ||pp + quadratic2(||qq - pp||\^{}2;r(2) * pp\mcdot{}qq - pp;||pp||\^{}2 - d(a;b)\^{}2)*qq - pp|| = d(a;b)
23. v : \mBbbR{}
24. r0 \mleq{} v
25. rsqrt(((r(2) * pp\mcdot{}qq - pp) * r(2) * pp\mcdot{}qq - pp) - r(4) * ||qq - pp||\^{}2 * (||pp||\^{}2 - d(a;b)\^{}2))
= v
26. v1 : \mBbbR{}
27. (r(2) * ||qq - pp||\^{}2) = v1
28. r0 < v1
29. v2 : \mBbbR{}\^{}n
30. qq - pp = v2
31. v\^{}2 = (r(2) * pp\mcdot{}v2\^{}2 - r(4) * ||v2||\^{}2 * (||pp||\^{}2 - d(a;b)\^{}2))
32. v3 : \mBbbR{}
33. r(2) * pp\mcdot{}v2\^{}2 = v3
\mvdash{} v3 \mleq{} (v3 - r(4) * ||v2||\^{}2 * (||pp||\^{}2 - d(a;b)\^{}2))
By
Latex:
((RWO "rmul-assoc" 0 THENA Auto)
THEN (Assert r0 \mleq{} ||v2||\^{}2 BY
Auto)
THEN nRMul \mkleeneopen{}r(4)\mkleeneclose{} (-1)\mcdot{}
THEN MoveToConcl (-1)
THEN (GenConclTerm \mkleeneopen{}r(4) * ||v2||\^{}2\mkleeneclose{}\mcdot{} THENA Auto))
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