---

Step * 1 1 1 2 1 1 2 1 1 of Lemma rv-line-circle-0


1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. p : ℝ^n
5. q : ℝ^n
6. p ≠ q
7. d(a;p) ≤ d(a;b)
8. d(a;b) ≤ d(a;q)
9. pp : ℝ^n
10. p - a = pp ∈ ℝ^n
11. qq : ℝ^n
12. q - a = qq ∈ ℝ^n
13. (d(a;p) < d(a;b)) ⇒ (||pp|| < d(a;b))
14. ||pp|| ≤ d(a;b)
15. (d(a;b) < d(a;q)) ⇒ (d(a;b) < ||qq||)
16. d(a;b) ≤ ||qq||
17. pp ≠ qq
18. r0 < ||qq - pp||
19. r0 < ||qq - pp||^2
20. r0 ≤ (((r(2) * pp⋅qq - pp) * r(2) * pp⋅qq - pp) - r(4) * ||qq - pp||^2 * (||pp||^2 - d(a;b)^2))
21. d(a;p + quadratic1(d(qq;pp)^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp) = d(a;b)
22. d(a;p + quadratic2(d(qq;pp)^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp) = d(a;b)
23. quadratic1(||qq - pp||^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2) ∈ [r0, r1]
24. ∀X:ℝ^n. req-vec(n;pp + X;p + X - a)
⊢ real-vec-be(n;q;p;p + quadratic2(d(qq;pp)^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp)
BY
{ (Assert req-vec(n;qq - pp;q - p) BY
         ((Assert q - a = qq ∈ ℝ^n BY
                 Hypothesis)
          THEN (Assert p - a = pp ∈ ℝ^n BY
                      Auto)
          THEN (RWO  "-1< -2<" 0 THENA Auto)
          THEN (RepUR ``req-vec real-vec-mul real-vec-sub real-vec-add`` 0 THEN Auto)
          THEN nRNorm 0
          THEN Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. p : ℝ^n
5. q : ℝ^n
6. p ≠ q
7. d(a;p) ≤ d(a;b)
8. d(a;b) ≤ d(a;q)
9. pp : ℝ^n
10. p - a = pp ∈ ℝ^n
11. qq : ℝ^n
12. q - a = qq ∈ ℝ^n
13. (d(a;p) < d(a;b)) ⇒ (||pp|| < d(a;b))
14. ||pp|| ≤ d(a;b)
15. (d(a;b) < d(a;q)) ⇒ (d(a;b) < ||qq||)
16. d(a;b) ≤ ||qq||
17. pp ≠ qq
18. r0 < ||qq - pp||
19. r0 < ||qq - pp||^2
20. r0 ≤ (((r(2) * pp⋅qq - pp) * r(2) * pp⋅qq - pp) - r(4) * ||qq - pp||^2 * (||pp||^2 - d(a;b)^2))
21. d(a;p + quadratic1(d(qq;pp)^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp) = d(a;b)
22. d(a;p + quadratic2(d(qq;pp)^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp) = d(a;b)
23. quadratic1(||qq - pp||^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2) ∈ [r0, r1]
24. ∀X:ℝ^n. req-vec(n;pp + X;p + X - a)
25. req-vec(n;qq - pp;q - p)
⊢ real-vec-be(n;q;p;p + quadratic2(d(qq;pp)^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  q  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  p  \mneq{}  q
7.  d(a;p)  \mleq{}  d(a;b)
8.  d(a;b)  \mleq{}  d(a;q)
9.  pp  :  \mBbbR{}\^{}n
10.  p  -  a  =  pp
11.  qq  :  \mBbbR{}\^{}n
12.  q  -  a  =  qq
13.  (d(a;p)  <  d(a;b))  {}\mRightarrow{}  (||pp||  <  d(a;b))
14.  ||pp||  \mleq{}  d(a;b)
15.  (d(a;b)  <  d(a;q))  {}\mRightarrow{}  (d(a;b)  <  ||qq||)
16.  d(a;b)  \mleq{}  ||qq||
17.  pp  \mneq{}  qq
18.  r0  <  ||qq  -  pp||
19.  r0  <  ||qq  -  pp||\^{}2
20.  r0  \mleq{}  (((r(2)  *  pp\mcdot{}qq  -  pp)  *  r(2)  *  pp\mcdot{}qq  -  pp)  -  r(4)  *  ||qq  -  pp||\^{}2  *  (||pp||\^{}2  -  d(a;b)\^{}2))
21.  d(a;p  +  quadratic1(d(qq;pp)\^{}2;r(2)  *  pp\mcdot{}qq  -  pp;||pp||\^{}2  -  d(a;b)\^{}2)*qq  -  pp)  =  d(a;b)
22.  d(a;p  +  quadratic2(d(qq;pp)\^{}2;r(2)  *  pp\mcdot{}qq  -  pp;||pp||\^{}2  -  d(a;b)\^{}2)*qq  -  pp)  =  d(a;b)
23.  quadratic1(||qq  -  pp||\^{}2;r(2)  *  pp\mcdot{}qq  -  pp;||pp||\^{}2  -  d(a;b)\^{}2)  \mmember{}  [r0,  r1]
24.  \mforall{}X:\mBbbR{}\^{}n.  req-vec(n;pp  +  X;p  +  X  -  a)
\mvdash{}  real-vec-be(n;q;p;p  +  quadratic2(d(qq;pp)\^{}2;r(2)  *  pp\mcdot{}qq  -  pp;||pp||\^{}2  -  d(a;b)\^{}2)*qq  -  pp)


By

---

Latex:
(Assert  req-vec(n;qq  -  pp;q  -  p)  BY
              ((Assert  q  -  a  =  qq  BY
                              Hypothesis)
                THEN  (Assert  p  -  a  =  pp  BY
                                        Auto)
                THEN  (RWO    "-1<  -2<"  0  THENA  Auto)
                THEN  (RepUR  ``req-vec  real-vec-mul  real-vec-sub  real-vec-add``  0  THEN  Auto)
                THEN  nRNorm  0
                THEN  Auto))

---

Home Index