---

Step * 1 of Lemma seq-max-lower-property


1. k : ℕ
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. n : ℤ
4. 0 < n
5. ∀i:ℕ+n
     (((seq-max-lower(k;n - 1;f) * (f i)) - i * (f seq-max-lower(k;n - 1;f))) ≤ ((2 * k)
      * (seq-max-lower(k;n - 1;f) - i)))
6. i : ℕ+n + 1
⊢ ((if (n * (f seq-max-lower(k;n - 1;f))) - (2 * k) * n ≤z (seq-max-lower(k;n - 1;f) * (f n)) - (2 * k)
       * seq-max-lower(k;n - 1;f)
  then n
  else seq-max-lower(k;n - 1;f)
  fi 
  * (f i)) - i
  * (f 
     if (n * (f seq-max-lower(k;n - 1;f))) - (2 * k) * n ≤z (seq-max-lower(k;n - 1;f) * (f n)) - (2 * k)
        * seq-max-lower(k;n - 1;f)
     then n
     else seq-max-lower(k;n - 1;f)
     fi )) ≤ ((2 * k)
  * (if (n * (f seq-max-lower(k;n - 1;f))) - (2 * k) * n ≤z (seq-max-lower(k;n - 1;f) * (f n)) - (2 * k)
        * seq-max-lower(k;n - 1;f)
    then n
    else seq-max-lower(k;n - 1;f)
    fi  - i))
BY
{ ((Decide ⌜i = n ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto)
   THENL [(HypSubst' (-1) 0 THEN AutoSplit THEN Auto); ((InstHyp [⌜i⌝] (-3)⋅ THENA Auto) THEN AutoSplit)]
) }

1
1. k : ℕ
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. n : ℤ
4. 0 < n
5. ∀i:ℕ+n
     (((seq-max-lower(k;n - 1;f) * (f i)) - i * (f seq-max-lower(k;n - 1;f))) ≤ ((2 * k)
      * (seq-max-lower(k;n - 1;f) - i)))
6. i : ℕ+n + 1
7. ¬(i = n ∈ ℤ)
8. ((seq-max-lower(k;n - 1;f) * (f i)) - i * (f seq-max-lower(k;n - 1;f))) ≤ ((2 * k) * (seq-max-lower(k;n - 1;f) - i))
9. ((n * (f seq-max-lower(k;n - 1;f))) - (2 * k) * n) ≤ ((seq-max-lower(k;n - 1;f) * (f n)) - (2 * k)
   * seq-max-lower(k;n - 1;f))
⊢ ((n * (f i)) - i * (f n)) ≤ ((2 * k) * (n - i))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  f  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  n  :  \mBbbZ{}
4.  0  <  n
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}\msupplus{}n
          (((seq-max-lower(k;n  -  1;f)  *  (f  i))  -  i  *  (f  seq-max-lower(k;n  -  1;f)))  \mleq{}  ((2  *  k)
            *  (seq-max-lower(k;n  -  1;f)  -  i)))
6.  i  :  \mBbbN{}\msupplus{}n  +  1
\mvdash{}  ((if  (n  *  (f  seq-max-lower(k;n  -  1;f)))  -  (2  *  k)  *  n  \mleq{}z  (seq-max-lower(k;n  -  1;f)  *  (f  n))  -  (2
              *  k)
              *  seq-max-lower(k;n  -  1;f)
    then  n
    else  seq-max-lower(k;n  -  1;f)
    fi 
    *  (f  i))  -  i
    *  (f 
          if  (n  *  (f  seq-max-lower(k;n  -  1;f)))  -  (2  *  k)  *  n  \mleq{}z  (seq-max-lower(k;n  -  1;f)  *  (f  n))  -  (2
                *  k)
                *  seq-max-lower(k;n  -  1;f)
          then  n
          else  seq-max-lower(k;n  -  1;f)
          fi  ))  \mleq{}  ((2  *  k)
    *  (if  (n  *  (f  seq-max-lower(k;n  -  1;f)))  -  (2  *  k)  *  n  \mleq{}z  (seq-max-lower(k;n  -  1;f)  *  (f  n))  -  (2
                *  k)
                *  seq-max-lower(k;n  -  1;f)
        then  n
        else  seq-max-lower(k;n  -  1;f)
        fi    -  i))


By

---

Latex:
((Decide  \mkleeneopen{}i  =  n\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THENL  [(HypSubst'  (-1)  0  THEN  AutoSplit  THEN  Auto)
              ;  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  AutoSplit)]
)

---

Home Index