---

Step * 2 1 1 1 1 of Lemma series-diverges-rmul


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. e : ℝ
3. r0 < e
4. ∀k:ℕ. ∃m,n:ℕ. ((k ≤ m) ∧ (k ≤ n) ∧ (e ≤ |Σ{x[i] | 0≤i≤m} - Σ{x[i] | 0≤i≤n}|))
5. c : ℝ
6. c ≠ r0
7. r0 < (|c| * e)
8. k : ℕ
9. m : ℕ
10. n : ℕ
11. k ≤ m
12. k ≤ n
13. v : ℝ
14. Σ{x[i] | 0≤i≤m} = v ∈ ℝ
15. v1 : ℝ
16. Σ{x[i] | 0≤i≤n} = v1 ∈ ℝ
17. ((c * v) - c * v1) = (c * (v - v1))
⊢ (e ≤ |v - v1|) ⇒ ((|c| * e) ≤ |c * (v - v1)|)
BY
{ ((RWO "rabs-rmul" 0 THENA Auto) THEN GenConclTerm ⌜|v - v1|⌝⋅ THEN Auto) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. e : ℝ
3. r0 < e
4. ∀k:ℕ. ∃m,n:ℕ. ((k ≤ m) ∧ (k ≤ n) ∧ (e ≤ |Σ{x[i] | 0≤i≤m} - Σ{x[i] | 0≤i≤n}|))
5. c : ℝ
6. c ≠ r0
7. r0 < (|c| * e)
8. k : ℕ
9. m : ℕ
10. n : ℕ
11. k ≤ m
12. k ≤ n
13. v : ℝ
14. Σ{x[i] | 0≤i≤m} = v ∈ ℝ
15. v1 : ℝ
16. Σ{x[i] | 0≤i≤n} = v1 ∈ ℝ
17. ((c * v) - c * v1) = (c * (v - v1))
18. v2 : ℝ
19. |v - v1| = v2 ∈ ℝ
20. e ≤ v2
⊢ (|c| * e) ≤ (|c| * v2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  e  :  \mBbbR{}
3.  r0  <  e
4.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mexists{}m,n:\mBbbN{}.  ((k  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (k  \mleq{}  n)  \mwedge{}  (e  \mleq{}  |\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}  -  \mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}|))
5.  c  :  \mBbbR{}
6.  c  \mneq{}  r0
7.  r0  <  (|c|  *  e)
8.  k  :  \mBbbN{}
9.  m  :  \mBbbN{}
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  k  \mleq{}  m
12.  k  \mleq{}  n
13.  v  :  \mBbbR{}
14.  \mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}  =  v
15.  v1  :  \mBbbR{}
16.  \mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  =  v1
17.  ((c  *  v)  -  c  *  v1)  =  (c  *  (v  -  v1))
\mvdash{}  (e  \mleq{}  |v  -  v1|)  {}\mRightarrow{}  ((|c|  *  e)  \mleq{}  |c  *  (v  -  v1)|)


By

---

Latex:
((RWO  "rabs-rmul"  0  THENA  Auto)  THEN  GenConclTerm  \mkleeneopen{}|v  -  v1|\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index