---

Step * 2 1 of Lemma sine-poly-approx-1


1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} - sine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. n : ℕ
11. 0 ≤ n
⊢ r0 ≤ (x^(2 * n) + 1)/((2 * n) + 1)!
BY
{ (GenConcl ⌜((2 * n) + 1)! = M ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} - sine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. n : ℕ
11. 0 ≤ n
12. M : ℕ+
13. ((2 * n) + 1)! = M ∈ ℕ+
⊢ r0 ≤ (x^(2 * n) + 1)/M

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
4.  k1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r1/r(k1))  <  e
6.  N  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  i)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}i\}  -  sine(x)|  \mleq{}  (r1/r(k1))))
8.  |sine(x)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}N\}|  \mleq{}  (r1/r(k1))
9.  \mneg{}(N  \mleq{}  k)
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  0  \mleq{}  n
\mvdash{}  r0  \mleq{}  (x\^{}(2  *  n)  +  1)/((2  *  n)  +  1)!


By

---

Latex:
(GenConcl  \mkleeneopen{}((2  *  n)  +  1)!  =  M\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index