---

Step * 1 of Lemma strict-monotonic-is-locally-non-constant


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f x) < (f y)))) ∨ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f y) < (f x))))
4. a : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. b : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. x : ℝ
⊢ locally-non-constant(f;a;b;x)
BY
{ ((D 0 THEN Auto)
   THEN (Assert f u ≠ f v BY
               (Unfold `rneq` 0
                THEN (ParallelOp 3 THEN Try (BHyp 3 ))
                THEN Auto
                THEN Try ((DSetVars
                           THEN MemTypeCD
                           THEN Auto
                           THEN InstLemma `i-member-between` [⌜I⌝;⌜a⌝;⌜b⌝]⋅
                           THEN Auto))))
   ) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f x) < (f y)))) ∨ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f y) < (f x))))
4. a : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. b : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. x : ℝ
7. u : ℝ
8. v : ℝ
9. a ≤ u
10. u < v
11. v ≤ b
12. f u ≠ f v
⊢ ∃z:ℝ. ((u ≤ z) ∧ (z ≤ v) ∧ f(z) ≠ x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  <  (f  y))))
\mvee{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  y)  <  (f  x))))
4.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
5.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
6.  x  :  \mBbbR{}
\mvdash{}  locally-non-constant(f;a;b;x)


By

---

Latex:
((D  0  THEN  Auto)
  THEN  (Assert  f  u  \mneq{}  f  v  BY
                          (Unfold  `rneq`  0
                            THEN  (ParallelOp  3  THEN  Try  (BHyp  3  ))
                            THEN  Auto
                            THEN  Try  ((DSetVars
                                                  THEN  MemTypeCD
                                                  THEN  Auto
                                                  THEN  InstLemma  `i-member-between`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                                  THEN  Auto))))
  )

---

Home Index