---

Step * 1 1 1 of Lemma sup-iff-closure


1. [A] : Set(ℝ)
2. x : ℝ
3. A ≤ x
4. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:ℝ. ((x@0 ∈ A) ∧ ((x - e) < x@0))))
5. ∀n:ℕ+. ∃z:ℝ. ((z ∈ A) ∧ ((x - (r1/r(n))) < z))
6. z : n:ℕ+ ⟶ ℝ
7. ∀n:ℕ+. ((z n ∈ A) ∧ ((x - (r1/r(n))) < (z n)))
⊢ ∃x@0:ℕ ⟶ ℝ. (lim n→∞.x@0[n] = x ∧ (∀n:ℕ. (A x@0[n])))
BY
{ (InstConcl [⌜λn.(z (n + 1))⌝] ⋅ THEN RepUR ``so_apply`` 0 THEN Auto) }

1
1. [A] : Set(ℝ)
2. x : ℝ
3. A ≤ x
4. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:ℝ. ((x@0 ∈ A) ∧ ((x - e) < x@0))))
5. ∀n:ℕ+. ∃z:ℝ. ((z ∈ A) ∧ ((x - (r1/r(n))) < z))
6. z : n:ℕ+ ⟶ ℝ
7. ∀n:ℕ+. ((z n ∈ A) ∧ ((x - (r1/r(n))) < (z n)))
⊢ lim n→∞.z (n + 1) = x

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Set(\mBbbR{})
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  A  \mleq{}  x
4.  \mforall{}e:\mBbbR{}.  ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x@0:\mBbbR{}.  ((x@0  \mmember{}  A)  \mwedge{}  ((x  -  e)  <  x@0))))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}z:\mBbbR{}.  ((z  \mmember{}  A)  \mwedge{}  ((x  -  (r1/r(n)))  <  z))
6.  z  :  n:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((z  n  \mmember{}  A)  \mwedge{}  ((x  -  (r1/r(n)))  <  (z  n)))
\mvdash{}  \mexists{}x@0:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.  (lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x@0[n]  =  x  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (A  x@0[n])))


By

---

Latex:
(InstConcl  [\mkleeneopen{}\mlambda{}n.(z  (n  +  1))\mkleeneclose{}]  \mcdot{}  THEN  RepUR  ``so\_apply``  0  THEN  Auto)

---

Home Index