---

Step * 2 1 2 of Lemma sup-iff-closure


1. [A] : Set(ℝ)
2. x : ℝ
3. A ≤ x
4. z : ℕ ⟶ ℝ
5. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|z[n] - x| ≤ (r1/r(k)))))])
6. ∀n:ℕ. (A z[n])
7. e : ℝ
8. r0 < e
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < e
11. N : ℕ
12. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|z[n] - x| ≤ (r1/r(k))))
13. |z[N] - x| ≤ (r1/r(k))
14. z[N] ∈ A
⊢ (x - e) < z[N]
BY
{ ((RWO "rabs-difference-symmetry" (-2) THEN Auto) THEN RWO "rabs-of-nonneg" (-2) THEN Auto)⋅ }

1
.....rewrite subgoal..... 
1. A : Set(ℝ)
2. x : ℝ
3. A ≤ x
4. z : ℕ ⟶ ℝ
5. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|z[n] - x| ≤ (r1/r(k)))))])
6. ∀n:ℕ. (A z[n])
7. e : ℝ
8. r0 < e
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < e
11. N : ℕ
12. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|z[n] - x| ≤ (r1/r(k))))
13. |x - z[N]| ≤ (r1/r(k))
14. z[N] ∈ A
⊢ r0 ≤ (x - z[N])

2
1. [A] : Set(ℝ)
2. x : ℝ
3. A ≤ x
4. z : ℕ ⟶ ℝ
5. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|z[n] - x| ≤ (r1/r(k)))))])
6. ∀n:ℕ. (A z[n])
7. e : ℝ
8. r0 < e
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < e
11. N : ℕ
12. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|z[n] - x| ≤ (r1/r(k))))
13. (x - z[N]) ≤ (r1/r(k))
14. z[N] ∈ A
⊢ (x - e) < z[N]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Set(\mBbbR{})
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  A  \mleq{}  x
4.  z  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|z[n]  -  x|  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (A  z[n])
7.  e  :  \mBbbR{}
8.  r0  <  e
9.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  (r1/r(k))  <  e
11.  N  :  \mBbbN{}
12.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|z[n]  -  x|  \mleq{}  (r1/r(k))))
13.  |z[N]  -  x|  \mleq{}  (r1/r(k))
14.  z[N]  \mmember{}  A
\mvdash{}  (x  -  e)  <  z[N]


By

---

Latex:
((RWO  "rabs-difference-symmetry"  (-2)  THEN  Auto)  THEN  RWO  "rabs-of-nonneg"  (-2)  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index