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Step * 1 1 1 1 2 1 3 3 of Lemma Legendre-roots-sq


1. n : ℤ
2. z : i:ℕn - 1 ⟶ {x:ℝ| (x ∈ (r(-1), r1)) ∧ (Legendre(n - 1;x) = r0) ∧ (r0 < (r((-1)^(n - 1 - i)) * Legendre(n;x)))} 
3. ∀i:ℕn - 2. ((z i) < (z (i + 1)))
4. 2 ≤ n
5. ∀a,b:ℝ.  rational_fun_zero(λx.ratLegendre(n;x);a;b) ∈ {c:ℝ| (c ∈ (a, b)) ∧ (Legendre(n;c) = r0)}  supposing (a < b) ∧\000C ((Legendre(n;a) * Legendre(n;b)) < r0)
6. i : ℕn
7. r0 < (r((-1)^(n - i)) * Legendre(n;if i=0 then r(-1) else (z (i - 1))))
8. (r((-1)^(n - i)) * Legendre(n;if i=n - 1 then r1 else (z i))) < r0
⊢ (Legendre(n;if i=0 then r(-1) else (z (i - 1))) * Legendre(n;if i=n - 1 then r1 else (z i))) < r0
BY
{ (RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN GenConclTerms Auto [⌜Legendre(n;if i=0 then r(-1) else (z (i - 1)))⌝;⌜Legendre(n;if i=n - 1 then r1 else (z i))⌝
   ]⋅
   THEN (GenConcl ⌜(n - i) = N ∈ ℕ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN All Thin
   THEN Auto) }

1
1. v : ℝ
2. v1 : ℝ
3. N : ℕ
4. r0 < (r((-1)^N) * v)
5. (r((-1)^N) * v1) < r0
⊢ (v * v1) < r0

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Latex:

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Latex:

1.  n  :  \mBbbZ{}
2.  z  :  i:\mBbbN{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}| 
                                        (x  \mmember{}  (r(-1),  r1))
                                        \mwedge{}  (Legendre(n  -  1;x)  =  r0)
                                        \mwedge{}  (r0  <  (r((-1)\^{}(n  -  1  -  i))  *  Legendre(n;x)))\} 
3.  \mforall{}i:\mBbbN{}n  -  2.  ((z  i)  <  (z  (i  +  1)))
4.  2  \mleq{}  n
5.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
          rational\_fun\_zero(\mlambda{}x.ratLegendre(n;x);a;b)  \mmember{}  \{c:\mBbbR{}|  (c  \mmember{}  (a,  b))  \mwedge{}  (Legendre(n;c)  =  r0)\}   
          supposing  (a  <  b)  \mwedge{}  ((Legendre(n;a)  *  Legendre(n;b))  <  r0)
6.  i  :  \mBbbN{}n
7.  r0  <  (r((-1)\^{}(n  -  i))  *  Legendre(n;if  i=0  then  r(-1)  else  (z  (i  -  1))))
8.  (r((-1)\^{}(n  -  i))  *  Legendre(n;if  i=n  -  1  then  r1  else  (z  i)))  <  r0
\mvdash{}  (Legendre(n;if  i=0  then  r(-1)  else  (z  (i  -  1)))  *  Legendre(n;if  i=n  -  1  then  r1  else  (z  i)))  <  r0


By

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Latex:
(RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}Legendre(n;if  i=0  then  r(-1)  else  (z  (i  -  1)))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}Legendre(n;if  i=n  -  1
                                                                                                                                                                              then  r1
                                                                                                                                                                              else  (z  i))\mkleeneclose{}]
  \mcdot{}
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(n  -  i)  =  N\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  All  Thin
  THEN  Auto)

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