---

Step * 1 1 2 1 1 1 1 of Lemma Riemann-integral-rless


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. ∀n:ℕ+
      (∃d:{ℝ| ((r0 < d)
              ∧ (∀x,y:ℝ.
                   (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))})
11. c' : ℝ
12. f[x] < c'
13. c' < c
14. k : ℕ+
15. (r1/r(k)) < (c' - f[x])
16. d : ℝ
17. r0 < d
18. ∀x,y:ℝ.  (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))
19. r0 < d
20. c' < c
21. y : ℝ
22. y ∈ [a, b]
23. |y - x| ≤ d
⊢ f[y] ≤ c'
BY
{ (Assert |f[y] - f[x]| ≤ (r1/r(k)) BY
         (BackThruSomeHyp THEN Auto)) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. ∀n:ℕ+
      (∃d:{ℝ| ((r0 < d)
              ∧ (∀x,y:ℝ.
                   (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))})
11. c' : ℝ
12. f[x] < c'
13. c' < c
14. k : ℕ+
15. (r1/r(k)) < (c' - f[x])
16. d : ℝ
17. r0 < d
18. ∀x,y:ℝ.  (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))
19. r0 < d
20. c' < c
21. y : ℝ
22. y ∈ [a, b]
23. |y - x| ≤ d
24. |f[y] - f[x]| ≤ (r1/r(k))
⊢ f[y] ≤ c'

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  c  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mleq{}  c))
6.  x  :  \mBbbR{}
7.  x  \mmember{}  [a,  b]
8.  f[x]  <  c
9.  a  <  b
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
            (\mexists{}d:\{\mBbbR{}|  ((r0  <  d)
                            \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                      (((a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b))
                                      {}\mRightarrow{}  ((a  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  b))
                                      {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                      {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))\})
11.  c'  :  \mBbbR{}
12.  f[x]  <  c'
13.  c'  <  c
14.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  (r1/r(k))  <  (c'  -  f[x])
16.  d  :  \mBbbR{}
17.  r0  <  d
18.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
            (((a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b))  {}\mRightarrow{}  ((a  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  b))  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(k))))
19.  r0  <  d
20.  c'  <  c
21.  y  :  \mBbbR{}
22.  y  \mmember{}  [a,  b]
23.  |y  -  x|  \mleq{}  d
\mvdash{}  f[y]  \mleq{}  c'


By

---

Latex:
(Assert  |f[y]  -  f[x]|  \mleq{}  (r1/r(k))  BY
              (BackThruSomeHyp  THEN  Auto))

---

Home Index