---

Step * 1 2 1 2 1 2 1 of Lemma Riemann-integral-rless

.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. d : ℝ
11. c' : ℝ
12. r0 < d
13. c' < c
14. ∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - x| ≤ d) ⇒ (f[y] ≤ c'))
15. ∫ f[x] dx on [a, b] = (∫ f[x] dx on [a, x] + ∫ f[x] dx on [x, b])
16. (c * (b - a)) = ((c * (x - a)) + (c * (b - x)))
17. ifun(f;[a, x]) ∧ ifun(f;[x, b])
18. x < b
⊢ ∃m:ℝ. ((x < m) ∧ (m ≤ (x + d)) ∧ (m ≤ b))
BY
{ ((Assert ∃m:ℝ. ((x < m) ∧ (m < b)) BY
          (D 0 With ⌜ravg(x;b)⌝  THEN EAuto 1))
   THEN ExRepD
   THEN (InstLemma `rless-cases` [⌜m⌝;⌜b⌝;⌜x + d⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN D -1) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. d : ℝ
11. c' : ℝ
12. r0 < d
13. c' < c
14. ∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - x| ≤ d) ⇒ (f[y] ≤ c'))
15. ∫ f[x] dx on [a, b] = (∫ f[x] dx on [a, x] + ∫ f[x] dx on [x, b])
16. (c * (b - a)) = ((c * (x - a)) + (c * (b - x)))
17. ifun(f;[a, x])
18. ifun(f;[x, b])
19. x < b
20. m : ℝ
21. x < m
22. m < b
23. m < (x + d)
⊢ ∃m:ℝ. ((x < m) ∧ (m ≤ (x + d)) ∧ (m ≤ b))

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. d : ℝ
11. c' : ℝ
12. r0 < d
13. c' < c
14. ∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - x| ≤ d) ⇒ (f[y] ≤ c'))
15. ∫ f[x] dx on [a, b] = (∫ f[x] dx on [a, x] + ∫ f[x] dx on [x, b])
16. (c * (b - a)) = ((c * (x - a)) + (c * (b - x)))
17. ifun(f;[a, x])
18. ifun(f;[x, b])
19. x < b
20. m : ℝ
21. x < m
22. m < b
23. (x + d) < b
⊢ ∃m:ℝ. ((x < m) ∧ (m ≤ (x + d)) ∧ (m ≤ b))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  c  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mleq{}  c))
6.  x  :  \mBbbR{}
7.  x  \mmember{}  [a,  b]
8.  f[x]  <  c
9.  a  <  b
10.  d  :  \mBbbR{}
11.  c'  :  \mBbbR{}
12.  r0  <  d
13.  c'  <  c
14.  \mforall{}y:\mBbbR{}.  ((y  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (f[y]  \mleq{}  c'))
15.  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]  =  (\mint{}  f[x]  dx  on  [a,  x]  +  \mint{}  f[x]  dx  on  [x,  b])
16.  (c  *  (b  -  a))  =  ((c  *  (x  -  a))  +  (c  *  (b  -  x)))
17.  ifun(f;[a,  x])  \mwedge{}  ifun(f;[x,  b])
18.  x  <  b
\mvdash{}  \mexists{}m:\mBbbR{}.  ((x  <  m)  \mwedge{}  (m  \mleq{}  (x  +  d))  \mwedge{}  (m  \mleq{}  b))


By

---

Latex:
((Assert  \mexists{}m:\mBbbR{}.  ((x  <  m)  \mwedge{}  (m  <  b))  BY
                (D  0  With  \mkleeneopen{}ravg(x;b)\mkleeneclose{}    THEN  EAuto  1))
  THEN  ExRepD
  THEN  (InstLemma  `rless-cases`  [\mkleeneopen{}m\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x  +  d\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1)

---

Home Index