---

Step * 1 2 1 2 1 1 2 1 of Lemma Riemann-sums-converge


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]
5. m : ℕ+
6. M : ℕ+
7. ((r1/r(M)) * |[a, b]|) ≤ (r1/r(m))
8. d : {d:ℝ| r0 < d} 
9. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ ((r1/r(M)) * |[a, b]|))
10. k : ℕ+
11. (r1/r(k)) < d
12. N : ℕ+
13. (|[a, b]|/r(N)) ≤ (r1/r(k))
14. k1 : ℕ
15. m@0 : ℕ
16. N ≤ k1
17. N ≤ m@0
18. icompact([a, b])
⊢ (|[a, b]|/r(k1 + 1)) ≤ d
BY
{ ((Assert ⌜(|[a, b]|/r(k1 + 1)) ≤ (|[a, b]|/r(N))⌝⋅ THENM (RelRST THEN Auto))
   THEN (Assert r(N) ≤ r(k1 + 1) BY
               Auto)
   THEN (Assert r0 < r(N) BY
               Auto)
   THEN RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN GenConclTerms Auto [⌜r(N)⌝;⌜r(k1 + 1)⌝]⋅
   THEN All Thin) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. v : ℝ
4. v1 : ℝ
⊢ (v ≤ v1) ⇒ (r0 < v) ⇒ ((|[a, b]|/v1) ≤ (|[a, b]|/v))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
5.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  ((r1/r(M))  *  |[a,  b]|)  \mleq{}  (r1/r(m))
8.  d  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
9.  \mforall{}p,q:\{p:partition([a,  b])|  partition-mesh([a,  b];p)  \mleq{}  d\}  .
      \mforall{}x:partition-choice(full-partition([a,  b];p)).  \mforall{}y:partition-choice(full-partition([a,  b];q)).
          (|S(f;full-partition([a,  b];q))  -  S(f;full-partition([a,  b];p))|  \mleq{}  ((r1/r(M))  *  |[a,  b]|))
10.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  (r1/r(k))  <  d
12.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
13.  (|[a,  b]|/r(N))  \mleq{}  (r1/r(k))
14.  k1  :  \mBbbN{}
15.  m@0  :  \mBbbN{}
16.  N  \mleq{}  k1
17.  N  \mleq{}  m@0
18.  icompact([a,  b])
\mvdash{}  (|[a,  b]|/r(k1  +  1))  \mleq{}  d


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}(|[a,  b]|/r(k1  +  1))  \mleq{}  (|[a,  b]|/r(N))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENM  (RelRST  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  r(N)  \mleq{}  r(k1  +  1)  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  r0  <  r(N)  BY
                          Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}r(N)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r(k1  +  1)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  All  Thin)

---

Home Index