---

Step * 1 3 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 of Lemma arcsine-contraction-Taylor


1. a : ℝ
2. r(-1) < a
3. a < r1
4. x : ℝ
5. c : ℝ
6. r0 ≤ a
7. a ≤ c
8. rsqrt(r1 - a * a) ≤ c
9. r0 ≤ (r1 - a * a)
10. e : {e:ℝ| r0 < e} 
11. (-(π/2), π/2) ⊆ (-∞, ∞) 
12. d(rcos(x))/dx = λx.-(rsin(x)) on (-∞, ∞)
13. d(rsin(x))/dx = λx.rcos(x) on (-∞, ∞)
14. d(-(rsin(x)))/dx = λx.-(rcos(x)) on (-∞, ∞)
15. d(-(rcos(x)))/dx = λx.rsin(x) on (-∞, ∞)
16. c1 : ℝ
17. rmin(arcsine(a);x) ≤ c1
18. c1 ≤ rmax(arcsine(a);x)
19. rcos(arcsine(a)) = rsqrt(r1 - a * a)
20. arcsine-contraction(a;arcsine(a)) = arcsine(a)
21. z : ℝ
22. (arcsine-contraction(a;x) - arcsine(a)) = z ∈ ℝ
23. v : ℝ
24. (r0 + ((a * -(-(rsin(c1)))) - rsqrt(r1 - a * a) * -(rcos(c1)))/r((2)!)) = v ∈ ℝ
25. |v| ≤ c
26. |z - (x - c1^2 * v) * (x - arcsine(a))| ≤ e
27. |c1 - arcsine(a)| ≤ |x - arcsine(a)|
28. (((x - c1^2 * v) * (x - arcsine(a))) - r0) = ((x - c1^2 * v) * (x - arcsine(a)))
29. |x - c1|^2 ≤ |x - arcsine(a)|^2
30. b : ℝ
31. |x - arcsine(a)| = b ∈ ℝ
⊢ (e + ((b^2 * |v|) * b)) ≤ ((c * b^3) + e)
BY
{ ((Assert b^3 = (b^2 * b) BY
          ((InstLemma `rnexp_step` [⌜b⌝;⌜3⌝]⋅ THENA Auto) THEN Reduce -1 THEN Auto))
   THEN (Assert r0 ≤ |v| BY
               Auto)
   THEN (Assert r0 ≤ c BY
               Auto)) }

1
1. a : ℝ
2. r(-1) < a
3. a < r1
4. x : ℝ
5. c : ℝ
6. r0 ≤ a
7. a ≤ c
8. rsqrt(r1 - a * a) ≤ c
9. r0 ≤ (r1 - a * a)
10. e : {e:ℝ| r0 < e} 
11. (-(π/2), π/2) ⊆ (-∞, ∞) 
12. d(rcos(x))/dx = λx.-(rsin(x)) on (-∞, ∞)
13. d(rsin(x))/dx = λx.rcos(x) on (-∞, ∞)
14. d(-(rsin(x)))/dx = λx.-(rcos(x)) on (-∞, ∞)
15. d(-(rcos(x)))/dx = λx.rsin(x) on (-∞, ∞)
16. c1 : ℝ
17. rmin(arcsine(a);x) ≤ c1
18. c1 ≤ rmax(arcsine(a);x)
19. rcos(arcsine(a)) = rsqrt(r1 - a * a)
20. arcsine-contraction(a;arcsine(a)) = arcsine(a)
21. z : ℝ
22. (arcsine-contraction(a;x) - arcsine(a)) = z ∈ ℝ
23. v : ℝ
24. (r0 + ((a * -(-(rsin(c1)))) - rsqrt(r1 - a * a) * -(rcos(c1)))/r((2)!)) = v ∈ ℝ
25. |v| ≤ c
26. |z - (x - c1^2 * v) * (x - arcsine(a))| ≤ e
27. |c1 - arcsine(a)| ≤ |x - arcsine(a)|
28. (((x - c1^2 * v) * (x - arcsine(a))) - r0) = ((x - c1^2 * v) * (x - arcsine(a)))
29. |x - c1|^2 ≤ |x - arcsine(a)|^2
30. b : ℝ
31. |x - arcsine(a)| = b ∈ ℝ
32. b^3 = (b^2 * b)
33. r0 ≤ |v|
34. r0 ≤ c
⊢ (e + ((b^2 * |v|) * b)) ≤ ((c * b^3) + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  r(-1)  <  a
3.  a  <  r1
4.  x  :  \mBbbR{}
5.  c  :  \mBbbR{}
6.  r0  \mleq{}  a
7.  a  \mleq{}  c
8.  rsqrt(r1  -  a  *  a)  \mleq{}  c
9.  r0  \mleq{}  (r1  -  a  *  a)
10.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
11.  (-(\mpi{}/2),  \mpi{}/2)  \msubseteq{}  (-\minfty{},  \minfty{}) 
12.  d(rcos(x))/dx  =  \mlambda{}x.-(rsin(x))  on  (-\minfty{},  \minfty{})
13.  d(rsin(x))/dx  =  \mlambda{}x.rcos(x)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
14.  d(-(rsin(x)))/dx  =  \mlambda{}x.-(rcos(x))  on  (-\minfty{},  \minfty{})
15.  d(-(rcos(x)))/dx  =  \mlambda{}x.rsin(x)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
16.  c1  :  \mBbbR{}
17.  rmin(arcsine(a);x)  \mleq{}  c1
18.  c1  \mleq{}  rmax(arcsine(a);x)
19.  rcos(arcsine(a))  =  rsqrt(r1  -  a  *  a)
20.  arcsine-contraction(a;arcsine(a))  =  arcsine(a)
21.  z  :  \mBbbR{}
22.  (arcsine-contraction(a;x)  -  arcsine(a))  =  z
23.  v  :  \mBbbR{}
24.  (r0  +  ((a  *  -(-(rsin(c1))))  -  rsqrt(r1  -  a  *  a)  *  -(rcos(c1)))/r((2)!))  =  v
25.  |v|  \mleq{}  c
26.  |z  -  (x  -  c1\^{}2  *  v)  *  (x  -  arcsine(a))|  \mleq{}  e
27.  |c1  -  arcsine(a)|  \mleq{}  |x  -  arcsine(a)|
28.  (((x  -  c1\^{}2  *  v)  *  (x  -  arcsine(a)))  -  r0)  =  ((x  -  c1\^{}2  *  v)  *  (x  -  arcsine(a)))
29.  |x  -  c1|\^{}2  \mleq{}  |x  -  arcsine(a)|\^{}2
30.  b  :  \mBbbR{}
31.  |x  -  arcsine(a)|  =  b
\mvdash{}  (e  +  ((b\^{}2  *  |v|)  *  b))  \mleq{}  ((c  *  b\^{}3)  +  e)


By

---

Latex:
((Assert  b\^{}3  =  (b\^{}2  *  b)  BY
                ((InstLemma  `rnexp\_step`  [\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}3\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  Reduce  -1  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  r0  \mleq{}  |v|  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  r0  \mleq{}  c  BY
                          Auto))

---

Home Index