---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma arctangent-bounds


1. x : ℝ
2. n : ℕ
3. r(-n) ≤ x
4. x ≤ r(n)
5. d : ℝ
6. r0 < d
7. ∀y:ℝ
     (((r(-5) ≤ -(π/2)) ∧ (-(π/2) ≤ r(5)))
     ⇒ ((r(-5) ≤ y) ∧ (y ≤ r(5)))
     ⇒ (|-(π/2) - y| ≤ d)
     ⇒ (|rcos(-(π/2)) - rcos(y)| ≤ (r1/r((2 * n) + 1))))
8. d1 : ℝ
9. r0 < d1
10. ∀y:ℝ
      (((r(-5) ≤ -(π/2)) ∧ (-(π/2) ≤ r(5)))
      ⇒ ((r(-5) ≤ y) ∧ (y ≤ r(5)))
      ⇒ (|-(π/2) - y| ≤ d1)
      ⇒ (|-(r1) - rsin(y)| ≤ (r1/r(2))))
⊢ ∃a:{a:ℝ| a ∈ (-(π/2), r0)} . (((r(2 * n) * rcos(a)) < r1) ∧ (rsin(a) ≤ (r(-1)/r(2))))
BY
{ Assert ⌜∃t:ℝ. ((r0 < t) ∧ (t < π/2) ∧ (t ≤ d1) ∧ (t ≤ d))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. x : ℝ
2. n : ℕ
3. r(-n) ≤ x
4. x ≤ r(n)
5. d : ℝ
6. r0 < d
7. ∀y:ℝ
     (((r(-5) ≤ -(π/2)) ∧ (-(π/2) ≤ r(5)))
     ⇒ ((r(-5) ≤ y) ∧ (y ≤ r(5)))
     ⇒ (|-(π/2) - y| ≤ d)
     ⇒ (|rcos(-(π/2)) - rcos(y)| ≤ (r1/r((2 * n) + 1))))
8. d1 : ℝ
9. r0 < d1
10. ∀y:ℝ
      (((r(-5) ≤ -(π/2)) ∧ (-(π/2) ≤ r(5)))
      ⇒ ((r(-5) ≤ y) ∧ (y ≤ r(5)))
      ⇒ (|-(π/2) - y| ≤ d1)
      ⇒ (|-(r1) - rsin(y)| ≤ (r1/r(2))))
⊢ ∃t:ℝ. ((r0 < t) ∧ (t < π/2) ∧ (t ≤ d1) ∧ (t ≤ d))

2
1. x : ℝ
2. n : ℕ
3. r(-n) ≤ x
4. x ≤ r(n)
5. d : ℝ
6. r0 < d
7. ∀y:ℝ
     (((r(-5) ≤ -(π/2)) ∧ (-(π/2) ≤ r(5)))
     ⇒ ((r(-5) ≤ y) ∧ (y ≤ r(5)))
     ⇒ (|-(π/2) - y| ≤ d)
     ⇒ (|rcos(-(π/2)) - rcos(y)| ≤ (r1/r((2 * n) + 1))))
8. d1 : ℝ
9. r0 < d1
10. ∀y:ℝ
      (((r(-5) ≤ -(π/2)) ∧ (-(π/2) ≤ r(5)))
      ⇒ ((r(-5) ≤ y) ∧ (y ≤ r(5)))
      ⇒ (|-(π/2) - y| ≤ d1)
      ⇒ (|-(r1) - rsin(y)| ≤ (r1/r(2))))
11. ∃t:ℝ. ((r0 < t) ∧ (t < π/2) ∧ (t ≤ d1) ∧ (t ≤ d))
⊢ ∃a:{a:ℝ| a ∈ (-(π/2), r0)} . (((r(2 * n) * rcos(a)) < r1) ∧ (rsin(a) ≤ (r(-1)/r(2))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  r(-n)  \mleq{}  x
4.  x  \mleq{}  r(n)
5.  d  :  \mBbbR{}
6.  r0  <  d
7.  \mforall{}y:\mBbbR{}
          (((r(-5)  \mleq{}  -(\mpi{}/2))  \mwedge{}  (-(\mpi{}/2)  \mleq{}  r(5)))
          {}\mRightarrow{}  ((r(-5)  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  r(5)))
          {}\mRightarrow{}  (|-(\mpi{}/2)  -  y|  \mleq{}  d)
          {}\mRightarrow{}  (|rcos(-(\mpi{}/2))  -  rcos(y)|  \mleq{}  (r1/r((2  *  n)  +  1))))
8.  d1  :  \mBbbR{}
9.  r0  <  d1
10.  \mforall{}y:\mBbbR{}
            (((r(-5)  \mleq{}  -(\mpi{}/2))  \mwedge{}  (-(\mpi{}/2)  \mleq{}  r(5)))
            {}\mRightarrow{}  ((r(-5)  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  r(5)))
            {}\mRightarrow{}  (|-(\mpi{}/2)  -  y|  \mleq{}  d1)
            {}\mRightarrow{}  (|-(r1)  -  rsin(y)|  \mleq{}  (r1/r(2))))
\mvdash{}  \mexists{}a:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  (-(\mpi{}/2),  r0)\}  .  (((r(2  *  n)  *  rcos(a))  <  r1)  \mwedge{}  (rsin(a)  \mleq{}  (r(-1)/r(2))))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}t:\mBbbR{}.  ((r0  <  t)  \mwedge{}  (t  <  \mpi{}/2)  \mwedge{}  (t  \mleq{}  d1)  \mwedge{}  (t  \mleq{}  d))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index