---

Step * 1 1 1 2 1 1 1 of Lemma arctangent-bounds


1. x : ℝ
2. n : ℕ
3. (r(-n) ≤ x) ∧ (x ≤ r(n))
4. ∀n:ℕ+
     (∃d:ℝ [((r0 < d)
           ∧ (∀x,y:ℝ.
                (((r(-5) ≤ x) ∧ (x ≤ r(5)))
                ⇒ ((r(-5) ≤ y) ∧ (y ≤ r(5)))
                ⇒ (|x - y| ≤ d)
                ⇒ (|rcos(x) - rcos(y)| ≤ (r1/r(n))))))])
⊢ ∃a:{a:ℝ| a ∈ (r0, π/2)} . (((r(2 * n) * rcos(a)) < r1) ∧ ((r1/r(2)) ≤ rsin(a)))
BY
{ ((D -1 With ⌜(2 * n) + 1⌝  THENA Auto) THEN ExRepD THEN (D -1 With ⌜π/2⌝  THENA Auto)) }

1
1. x : ℝ
2. n : ℕ
3. r(-n) ≤ x
4. x ≤ r(n)
5. d : ℝ
6. r0 < d
7. ∀y:ℝ
     (((r(-5) ≤ π/2) ∧ (π/2 ≤ r(5)))
     ⇒ ((r(-5) ≤ y) ∧ (y ≤ r(5)))
     ⇒ (|π/2 - y| ≤ d)
     ⇒ (|rcos(π/2) - rcos(y)| ≤ (r1/r((2 * n) + 1))))
⊢ ∃a:{a:ℝ| a ∈ (r0, π/2)} . (((r(2 * n) * rcos(a)) < r1) ∧ ((r1/r(2)) ≤ rsin(a)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  (r(-n)  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r(n))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
          (\mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
                      \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                (((r(-5)  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r(5)))
                                {}\mRightarrow{}  ((r(-5)  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  r(5)))
                                {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                {}\mRightarrow{}  (|rcos(x)  -  rcos(y)|  \mleq{}  (r1/r(n))))))])
\mvdash{}  \mexists{}a:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  (r0,  \mpi{}/2)\}  .  (((r(2  *  n)  *  rcos(a))  <  r1)  \mwedge{}  ((r1/r(2))  \mleq{}  rsin(a)))


By

---

Latex:
((D  -1  With  \mkleeneopen{}(2  *  n)  +  1\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  ExRepD  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}\mpi{}/2\mkleeneclose{}    THENA  Auto))

---

Home Index