---

Step * 2 2 2 1 1 2 1 of Lemma derivative-cosine


1. lim n→∞.Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤n} = λx.cosine(x) for x ∈ (-∞, ∞)
2. n : ℕ
3. d(Σ{r(-1^i) * (x^2 * i/r((2 * i)!)) | 0≤i≤n})/dx = λx.Σ{r(-1^i)
* (if (i =z 0) then r0 else r(2 * i) * x^(2 * i) - 1 fi /r((2 * i)!)) | 0≤i≤n} on (-∞, ∞)
4. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
5. (r(-1^0) * (r0/r1)) = r0
⊢ (r0 + Σ{r(-1^i) * (if (i =z 0) then r0 else r(2 * i) * x^(2 * i) - 1 fi /r((2 * i)!)) | 1≤i≤n})
= Σ{r(-1) * -1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤n - 1}
BY
{ ((InstLemma `rsum-shift` [⌜1⌝;⌜1⌝;⌜n⌝]⋅ THENA Auto) THEN RWO "-1" 0 THEN Auto) }

1
1. lim n→∞.Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤n} = λx.cosine(x) for x ∈ (-∞, ∞)
2. n : ℕ
3. d(Σ{r(-1^i) * (x^2 * i/r((2 * i)!)) | 0≤i≤n})/dx = λx.Σ{r(-1^i)
* (if (i =z 0) then r0 else r(2 * i) * x^(2 * i) - 1 fi /r((2 * i)!)) | 0≤i≤n} on (-∞, ∞)
4. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
5. (r(-1^0) * (r0/r1)) = r0
6. ∀[x:Top]. (Σ{x[i] | 1≤i≤n} ~ Σ{x[i + 1] | 1 - 1≤i≤n - 1})
⊢ (r0
+ Σ{r(-1^i + 1) * (if (i + 1 =z 0) then r0 else r(2 * (i + 1)) * x^(2 * (i + 1)) - 1 fi /r((2 * (i + 1))!)) | 1 - 1≤i≤n 
  - 1})
= Σ{r(-1) * -1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤n - 1}

---

Latex:

---

Latex:

1.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}2  *  i)/(2  *  i)!  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  =  \mlambda{}x.cosine(x)  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  d(\mSigma{}\{r(-1\^{}i)  *  (x\^{}2  *  i/r((2  *  i)!))  |  0\mleq{}i\mleq{}n\})/dx  =  \mlambda{}x.\mSigma{}\{r(-1\^{}i)
*  (if  (i  =\msubz{}  0)  then  r0  else  r(2  *  i)  *  x\^{}(2  *  i)  -  1  fi  /r((2  *  i)!))  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  on  (-\minfty{},  \minfty{})
4.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
5.  (r(-1\^{}0)  *  (r0/r1))  =  r0
\mvdash{}  (r0  +  \mSigma{}\{r(-1\^{}i)  *  (if  (i  =\msubz{}  0)  then  r0  else  r(2  *  i)  *  x\^{}(2  *  i)  -  1  fi  /r((2  *  i)!))  |  1\mleq{}i\mleq{}n\})
=  \mSigma{}\{r(-1)  *  -1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}


By

---

Latex:
((InstLemma  `rsum-shift`  [\mkleeneopen{}1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  RWO  "-1"  0  THEN  Auto)

---

Home Index