---

Step * 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 of Lemma derivative-of-integral


1. I : Interval
2. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
3. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
4. k : ℕ+
5. n : ℕ+
6. icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|a_∫-y f t dt - a_∫-x f t dt - (f x) * (y - x)| = |x_∫-y (f t) - f x dt|))
8. mc : ∀m:{m:ℕ+| icompact(i-approx(I;n))} . ∀n@0:ℕ+.
          (∃d:ℝ [((r0 < d)
                ∧ (∀x,y:ℝ.
                     ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(n@0))))))])
9. i-approx(I;n) ⊆ I 
10. mc 1 k ∈ ∃d:ℝ [((r0 < d)
                  ∧ (∀x,y:ℝ.
                       ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))))]
11. v : ℝ
12. (r0 < v) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (|x - y| ≤ v) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k)))))
13. x : ℝ
14. y : ℝ
15. x ∈ i-approx(I;n)
16. y ∈ i-approx(I;n)
17. |y - x| ≤ v
18. i-approx(I;n) ⊆ I 
19. λt.((f t) - f x) ∈ {f:[rmin(x;y), rmax(x;y)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(x;y), rmax(x;y)])} 
20. ∀t:ℝ. (((rmin(x;y) ≤ t) ∧ (t ≤ rmax(x;y))) ⇒ (|(f t) - f x| ≤ (r1/r(k))))
21. ||(f x@0) - f x||_x@0:[rmin(x;y), rmax(x;y)] ∈ ℝ
22. v1 : ℝ
23. ||(f t) - f x||_t:[rmin(x;y), rmax(x;y)] = v1 ∈ ℝ
⊢ (v1 ≤ (r1/r(k))) ⇒ ((v1 * |x - y|) ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|))
BY
{ All Thin }

1
1. k : ℕ+
2. x : ℝ
3. y : ℝ
4. v1 : ℝ
⊢ (v1 ≤ (r1/r(k))) ⇒ ((v1 * |x - y|) ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
3.  f  :  \{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))\} 
4.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  icompact(i-approx(I;n))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;n))
7.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  I)
          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)
          {}\mRightarrow{}  (|a\_\mint{}\msupminus{}y  f  t  dt  -  a\_\mint{}\msupminus{}x  f  t  dt  -  (f  x)  *  (y  -  x)|  =  |x\_\mint{}\msupminus{}y  (f  t)  -  f  x  dt|))
8.  mc  :  \mforall{}m:\{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;n))\}  .  \mforall{}n@0:\mBbbN{}\msupplus{}.
                    (\mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
                                \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                          ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
                                          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
                                          {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                          {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(n@0))))))])
9.  i-approx(I;n)  \msubseteq{}  I 
10.  mc  1  k  \mmember{}  \mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
                                    \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                              ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
                                              {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
                                              {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                              {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k))))))]
11.  v  :  \mBbbR{}
12.  (r0  <  v)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  v)  {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k)))))
13.  x  :  \mBbbR{}
14.  y  :  \mBbbR{}
15.  x  \mmember{}  i-approx(I;n)
16.  y  \mmember{}  i-approx(I;n)
17.  |y  -  x|  \mleq{}  v
18.  i-approx(I;n)  \msubseteq{}  I 
19.  \mlambda{}t.((f  t)  -  f  x)  \mmember{}  \{f:[rmin(x;y),  rmax(x;y)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[rmin(x;y),  rmax(x;y)])\} 
20.  \mforall{}t:\mBbbR{}.  (((rmin(x;y)  \mleq{}  t)  \mwedge{}  (t  \mleq{}  rmax(x;y)))  {}\mRightarrow{}  (|(f  t)  -  f  x|  \mleq{}  (r1/r(k))))
21.  ||(f  x@0)  -  f  x||\_x@0:[rmin(x;y),  rmax(x;y)]  \mmember{}  \mBbbR{}
22.  v1  :  \mBbbR{}
23.  ||(f  t)  -  f  x||\_t:[rmin(x;y),  rmax(x;y)]  =  v1
\mvdash{}  (v1  \mleq{}  (r1/r(k)))  {}\mRightarrow{}  ((v1  *  |x  -  y|)  \mleq{}  ((r1/r(k))  *  |y  -  x|))


By

---

Latex:
All  Thin

---

Home Index