---

Step * 2 1 1 1 1 3 2 of Lemma fun-converges-to-derivative


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. f' : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
5. F : I ⟶ℝ
6. G : I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[n;x] = f'[n;y]))
8. lim n→∞.f[n;x] = λy.F[y] for x ∈ I
9. lim n→∞.f'[n;x] = λy.G[y] for x ∈ I
10. ∀n:ℕ. d(f[n;x])/dx = λx.f'[n;x] on I
11. r : ℝ
12. r ∈ I
13. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (G[x] = G[y]))
14. lim n→∞.r_∫-x f'[n;t] dt = λx.r_∫-x G[t] dt for x ∈ I
15. λx.G[x] ∈ {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
16. d(r_∫-x G[t] dt)/dx = λx.G[x] on I
17. ∀f1,f2:ℕ ⟶ I ⟶ℝ. ∀g1,g2:I ⟶ℝ.
      (lim n→∞.f1[n;x] = λy.g1[y] for x ∈ I
      ⇒ lim n→∞.f2[n;x] = λy.g2[y] for x ∈ I
      ⇒ lim n→∞.f1[n;x] - f2[n;x] = λy.g1[y] - g2[y] for x ∈ I)
18. lim n→∞.f[n;x] - r_∫-x f'[n;t] dt = λy.F[y] - r_∫-y G[t] dt for x ∈ I
19. ∀n:ℕ. (r_∫- f'[n;t] dt ∈ I ⟶ℝ)
20. ∀n:ℕ. ∃c:ℝ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((f[n;x] - r_∫- f'[n;t] dt x) = c)
⊢ ∃c:ℝ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (F[x] = (r_∫-x G[t] dt + c))
BY
{ (Skolemize (-1) `C' THENA (Auto THEN OnMaybeHyp 19 (\h. (InstHyp [⌜n⌝] h⋅ THEN Complete (Auto))))) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. f' : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
5. F : I ⟶ℝ
6. G : I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[n;x] = f'[n;y]))
8. lim n→∞.f[n;x] = λy.F[y] for x ∈ I
9. lim n→∞.f'[n;x] = λy.G[y] for x ∈ I
10. ∀n:ℕ. d(f[n;x])/dx = λx.f'[n;x] on I
11. r : ℝ
12. r ∈ I
13. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (G[x] = G[y]))
14. lim n→∞.r_∫-x f'[n;t] dt = λx.r_∫-x G[t] dt for x ∈ I
15. λx.G[x] ∈ {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
16. d(r_∫-x G[t] dt)/dx = λx.G[x] on I
17. ∀f1,f2:ℕ ⟶ I ⟶ℝ. ∀g1,g2:I ⟶ℝ.
      (lim n→∞.f1[n;x] = λy.g1[y] for x ∈ I
      ⇒ lim n→∞.f2[n;x] = λy.g2[y] for x ∈ I
      ⇒ lim n→∞.f1[n;x] - f2[n;x] = λy.g1[y] - g2[y] for x ∈ I)
18. lim n→∞.f[n;x] - r_∫-x f'[n;t] dt = λy.F[y] - r_∫-y G[t] dt for x ∈ I
19. ∀n:ℕ. (r_∫- f'[n;t] dt ∈ I ⟶ℝ)
20. ∀n:ℕ. ∃c:ℝ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((f[n;x] - r_∫- f'[n;t] dt x) = c)
21. C : n:ℕ ⟶ ℝ
22. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((f[n;x] - r_∫- f'[n;t] dt x) = (C n))
⊢ ∃c:ℝ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (F[x] = (r_∫-x G[t] dt + c))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  F  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  G  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[n;x]  =  f'[n;y]))
8.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f[n;x]  =  \mlambda{}y.F[y]  for  x  \mmember{}  I
9.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f'[n;x]  =  \mlambda{}y.G[y]  for  x  \mmember{}  I
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  d(f[n;x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[n;x]  on  I
11.  r  :  \mBbbR{}
12.  r  \mmember{}  I
13.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (G[x]  =  G[y]))
14.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.r\_\mint{}\msupminus{}x  f'[n;t]  dt  =  \mlambda{}x.r\_\mint{}\msupminus{}x  G[t]  dt  for  x  \mmember{}  I
15.  \mlambda{}x.G[x]  \mmember{}  \{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))\} 
16.  d(r\_\mint{}\msupminus{}x  G[t]  dt)/dx  =  \mlambda{}x.G[x]  on  I
17.  \mforall{}f1,f2:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}g1,g2:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
            (lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f1[n;x]  =  \mlambda{}y.g1[y]  for  x  \mmember{}  I
            {}\mRightarrow{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f2[n;x]  =  \mlambda{}y.g2[y]  for  x  \mmember{}  I
            {}\mRightarrow{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f1[n;x]  -  f2[n;x]  =  \mlambda{}y.g1[y]  -  g2[y]  for  x  \mmember{}  I)
18.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f[n;x]  -  r\_\mint{}\msupminus{}x  f'[n;t]  dt  =  \mlambda{}y.F[y]  -  r\_\mint{}\msupminus{}y  G[t]  dt  for  x  \mmember{}  I
19.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (r\_\mint{}\msupminus{}  f'[n;t]  dt  \mmember{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{})
20.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  ((f[n;x]  -  r\_\mint{}\msupminus{}  f'[n;t]  dt  x)  =  c)
\mvdash{}  \mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (F[x]  =  (r\_\mint{}\msupminus{}x  G[t]  dt  +  c))


By

---

Latex:
(Skolemize  (-1)  `C'  THENA  (Auto  THEN  OnMaybeHyp  19  (\mbackslash{}h.  (InstHyp  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]  h\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto)))))

---

Home Index