---

Step * 2 1 1 1 1 2 1 1 of Lemma fun-converges-to-integral


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. F : I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[n;x] = f[n;y]))
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[x] = F[y]))
7. k : ℕ+
8. m : ℕ+
9. a ∈ i-approx(I;m)
10. icompact(i-approx(I;m))
11. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - F[x]| ≤ (r1/r(k)))
12. n : ℕ
13. r(-n) ≤ |i-approx(I;m)|
14. |i-approx(I;m)| ≤ r(n)
15. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n@0:{N...}.  (|f[n@0;x] - F[x]| ≤ (r1/r((n + 1) * k)))
16. i-approx(I;m) ⊆ I 
17. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . [rmin(a;x), rmax(a;x)] ⊆ I 
18. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[x] = F[y]))
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|a_∫-x f[n;t] dt - a_∫-x F[t] dt| ≤ (r1/r(k)))
BY
{ (RepeatFor 2 (ParallelOp -4) THEN ParallelLast) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. F : I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[n;x] = f[n;y]))
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[x] = F[y]))
7. k : ℕ+
8. m : ℕ+
9. a ∈ i-approx(I;m)
10. icompact(i-approx(I;m))
11. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - F[x]| ≤ (r1/r(k)))
12. n : ℕ
13. r(-n) ≤ |i-approx(I;m)|
14. |i-approx(I;m)| ≤ r(n)
15. N : ℕ+
16. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n@0:{N...}.  (|f[n@0;x] - F[x]| ≤ (r1/r((n + 1) * k)))
17. i-approx(I;m) ⊆ I 
18. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . [rmin(a;x), rmax(a;x)] ⊆ I 
19. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[x] = F[y]))
20. x : {x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} 
21. ∀n@0:{N...}. (|f[n@0;x] - F[x]| ≤ (r1/r((n + 1) * k)))
22. n1 : {N...}
23. |f[n1;x] - F[x]| ≤ (r1/r((n + 1) * k))
⊢ |a_∫-x f[n1;t] dt - a_∫-x F[t] dt| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  F  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[n;x]  =  f[n;y]))
5.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[x]  =  F[y]))
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  a  \mmember{}  i-approx(I;m)
10.  icompact(i-approx(I;m))
11.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n:\{N...\}.    (|f[n;x]  -  F[x]|  \mleq{}  (r1/r(k)))
12.  n  :  \mBbbN{}
13.  r(-n)  \mleq{}  |i-approx(I;m)|
14.  |i-approx(I;m)|  \mleq{}  r(n)
15.  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n@0:\{N...\}.    (|f[n@0;x]  -  F[x]|  \mleq{}  (r1/r((n  +  1)  *  k)))
16.  i-approx(I;m)  \msubseteq{}  I 
17.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  [rmin(a;x),  rmax(a;x)]  \msubseteq{}  I 
18.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[x]  =  F[y]))
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n:\{N...\}.    (|a\_\mint{}\msupminus{}x  f[n;t]  dt  -  a\_\mint{}\msupminus{}x  F[t]  dt|  \mleq{}  (r1/r(k)))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (ParallelOp  -4)  THEN  ParallelLast)

---

Home Index