---

Step * 1 3 1 2 1 2 of Lemma log-contraction-Taylor


1. a : ℝ
2. x : ℝ
3. r0 < a
4. |x - rlog(a)| ≤ r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
7. e : {e:ℝ| r0 < e} 
8. c : ℝ
9. rmin(rlog(a);x) ≤ c
10. c ≤ rmax(rlog(a);x)
11. |log-contraction(a;x) - rlog(a) - (x - c^2
* ((((r(16) * a^2) * e^c^2) + ((r(-4) * a^3) * e^c) + ((r(-4) * a) * e^c^3)/a + e^c^4)/r((2)!)))
* (x - rlog(a))| ≤ e
12. |c - rlog(a)| ≤ |x - rlog(a)|
⊢ |log-contraction(a;x) - rlog(a)| ≤ (((r1/r(4)) * |x - rlog(a)|^3) + e)
BY
{ ((Subst' (2)! ~ 2 -2 THENA Auto)
   THEN ((InstLemma_o (ioid Obid: third-derivative-log-contraction-bound) [⌜a⌝;⌜c⌝]⋅ THENA Auto)
        THENM (InstLemma `third-derivative-log-contraction-nonneg` [⌜a⌝;⌜c⌝]⋅ THENA Auto)
        )
   ) }

1
1. a : ℝ
2. x : ℝ
3. r0 < a
4. |x - rlog(a)| ≤ r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
7. e : {e:ℝ| r0 < e} 
8. c : ℝ
9. rmin(rlog(a);x) ≤ c
10. c ≤ rmax(rlog(a);x)
11. |log-contraction(a;x) - rlog(a) - (x - c^2
* ((((r(16) * a^2) * e^c^2) + ((r(-4) * a^3) * e^c) + ((r(-4) * a) * e^c^3)/a + e^c^4)/r(2)))
* (x - rlog(a))| ≤ e
12. |c - rlog(a)| ≤ |x - rlog(a)|
13. (((r(16) * a^2) * e^c^2) + ((r(-4) * a^3) * e^c) + ((r(-4) * a) * e^c^3)/a + e^c^4) ≤ (r1/r(2))
14. r0 ≤ (((r(16) * a^2) * e^c^2) + ((r(-4) * a^3) * e^c) + ((r(-4) * a) * e^c^3)/a + e^c^4)
⊢ |log-contraction(a;x) - rlog(a)| ≤ (((r1/r(4)) * |x - rlog(a)|^3) + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  r0  <  a
4.  |x  -  rlog(a)|  \mleq{}  r1
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}n)
7.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  rmin(rlog(a);x)  \mleq{}  c
10.  c  \mleq{}  rmax(rlog(a);x)
11.  |log-contraction(a;x)  -  rlog(a)  -  (x  -  c\^{}2
*  ((((r(16)  *  a\^{}2)  *  e\^{}c\^{}2)  +  ((r(-4)  *  a\^{}3)  *  e\^{}c)  +  ((r(-4)  *  a)  *  e\^{}c\^{}3)/a  +  e\^{}c\^{}4)/r((2)!)))
*  (x  -  rlog(a))|  \mleq{}  e
12.  |c  -  rlog(a)|  \mleq{}  |x  -  rlog(a)|
\mvdash{}  |log-contraction(a;x)  -  rlog(a)|  \mleq{}  (((r1/r(4))  *  |x  -  rlog(a)|\^{}3)  +  e)


By

---

Latex:
((Subst'  (2)!  \msim{}  2  -2  THENA  Auto)
  THEN  ((InstLemma\_o  (ioid  Obid:  third-derivative-log-contraction-bound)  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
            THENM  (InstLemma  `third-derivative-log-contraction-nonneg`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
            )
  )

---

Home Index