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Step * 1 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma rabs-integral


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : {f:[rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(a;b), rmax(a;b)])} 
4. rmin(a;b) ≤ rmin(rmin(a;b);rmax(a;b))
5. rmax(rmin(a;b);rmax(a;b)) ≤ rmax(a;b)
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. |∫ f[x] dx on [rmin(a;b), b] - ∫ f[x] dx on [rmin(a;b), a]| ≤ (|∫ f[x] dx on [rmin(a;b), b]|
+ |∫ f[x] dx on [rmin(a;b), a]|)
8. ||f[x]||_x:[rmin(a;b), b] ≤ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]
9. ||f[x]||_x:[rmin(a;b), a] ≤ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]
⊢ ((||f[x]||_x:[rmin(a;b), b] * (b - rmin(a;b)))
+ (||f[x]||_x:[rmin(a;b), a] * (a - rmin(a;b)))) ≤ ((||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]
+ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)])
* |a - b|)
BY
{ (RWO "-1 -2" 0 THENA Auto) }

1
.....rw func antecedent..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : {f:[rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(a;b), rmax(a;b)])} 
4. rmin(a;b) ≤ rmin(rmin(a;b);rmax(a;b))
5. rmax(rmin(a;b);rmax(a;b)) ≤ rmax(a;b)
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. |∫ f[x] dx on [rmin(a;b), b] - ∫ f[x] dx on [rmin(a;b), a]| ≤ (|∫ f[x] dx on [rmin(a;b), b]|
+ |∫ f[x] dx on [rmin(a;b), a]|)
8. ||f[x]||_x:[rmin(a;b), b] ≤ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]
9. ||f[x]||_x:[rmin(a;b), a] ≤ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]
⊢ ((r0 ≤ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), b]) ∧ (r0 ≤ (b - rmin(a;b))))
∨ ((r0 ≤ (b - rmin(a;b))) ∧ (r0 ≤ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]))

2
.....rw func antecedent..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : {f:[rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(a;b), rmax(a;b)])} 
4. rmin(a;b) ≤ rmin(rmin(a;b);rmax(a;b))
5. rmax(rmin(a;b);rmax(a;b)) ≤ rmax(a;b)
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. |∫ f[x] dx on [rmin(a;b), b] - ∫ f[x] dx on [rmin(a;b), a]| ≤ (|∫ f[x] dx on [rmin(a;b), b]|
+ |∫ f[x] dx on [rmin(a;b), a]|)
8. ||f[x]||_x:[rmin(a;b), b] ≤ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]
9. ||f[x]||_x:[rmin(a;b), a] ≤ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]
⊢ ((r0 ≤ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), a]) ∧ (r0 ≤ (a - rmin(a;b))))
∨ ((r0 ≤ (a - rmin(a;b))) ∧ (r0 ≤ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]))

3
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : {f:[rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(a;b), rmax(a;b)])} 
4. rmin(a;b) ≤ rmin(rmin(a;b);rmax(a;b))
5. rmax(rmin(a;b);rmax(a;b)) ≤ rmax(a;b)
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. |∫ f[x] dx on [rmin(a;b), b] - ∫ f[x] dx on [rmin(a;b), a]| ≤ (|∫ f[x] dx on [rmin(a;b), b]|
+ |∫ f[x] dx on [rmin(a;b), a]|)
8. ||f[x]||_x:[rmin(a;b), b] ≤ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]
9. ||f[x]||_x:[rmin(a;b), a] ≤ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]
⊢ ((||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)] * (b - rmin(a;b)))
+ (||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)] * (a - rmin(a;b)))) ≤ ((||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]
+ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)])
* |a - b|)

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Latex:

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Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  \{f:[rmin(a;b),  rmax(a;b)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[rmin(a;b),  rmax(a;b)])\} 
4.  rmin(a;b)  \mleq{}  rmin(rmin(a;b);rmax(a;b))
5.  rmax(rmin(a;b);rmax(a;b))  \mleq{}  rmax(a;b)
6.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
7.  |\mint{}  f[x]  dx  on  [rmin(a;b),  b]  -  \mint{}  f[x]  dx  on  [rmin(a;b),  a]|  \mleq{}  (|\mint{}  f[x]  dx  on  [rmin(a;b),  b]|
+  |\mint{}  f[x]  dx  on  [rmin(a;b),  a]|)
8.  ||f[x]||\_x:[rmin(a;b),  b]  \mleq{}  ||f[x]||\_x:[rmin(a;b),  rmax(a;b)]
9.  ||f[x]||\_x:[rmin(a;b),  a]  \mleq{}  ||f[x]||\_x:[rmin(a;b),  rmax(a;b)]
\mvdash{}  ((||f[x]||\_x:[rmin(a;b),  b]  *  (b  -  rmin(a;b)))
+  (||f[x]||\_x:[rmin(a;b),  a]  *  (a  -  rmin(a;b))))  \mleq{}  ((||f[x]||\_x:[rmin(a;b),  rmax(a;b)]
+  ||f[x]||\_x:[rmin(a;b),  rmax(a;b)])
*  |a  -  b|)


By

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Latex:
(RWO  "-1  -2"  0  THENA  Auto)

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