---

Step * 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 of Lemma small-rexp-remainder


1. x : {x:ℝ| |x| ≤ (r1/r(4))} 
2. n : ℕ
3. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
4. e : {e:ℝ| r0 < e} 
5. c : ℝ
6. rmin(r0;x) ≤ c
7. c ≤ rmax(r0;x)
8. r0 < r(4^n * 3 * (n)!)
9. v : ℝ
10. Taylor-remainder((-∞, ∞);n;x;r0;k,x.e^x) = v ∈ ℝ
11. v1 : ℝ
12. (e^x - Σ{(x^k/r((k)!)) | 0≤k≤n}) = v1 ∈ ℝ
13. |v - (x - c^n * (e^c/r((n)!))) * (x - r0)| ≤ e
14. v1 = v
15. |x - r0| ≤ (r1/r(4))
16. |(e^c/r((n)!))| = (e^c/r((n)!))
17. x < r0
⊢ |x - c| ≤ |x|
BY
{ ((Assert rmax(r0;x) = r0 BY EAuto 1) THEN (Assert rmin(r0;x) = x BY EAuto 1)) }

1
1. x : {x:ℝ| |x| ≤ (r1/r(4))} 
2. n : ℕ
3. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
4. e : {e:ℝ| r0 < e} 
5. c : ℝ
6. rmin(r0;x) ≤ c
7. c ≤ rmax(r0;x)
8. r0 < r(4^n * 3 * (n)!)
9. v : ℝ
10. Taylor-remainder((-∞, ∞);n;x;r0;k,x.e^x) = v ∈ ℝ
11. v1 : ℝ
12. (e^x - Σ{(x^k/r((k)!)) | 0≤k≤n}) = v1 ∈ ℝ
13. |v - (x - c^n * (e^c/r((n)!))) * (x - r0)| ≤ e
14. v1 = v
15. |x - r0| ≤ (r1/r(4))
16. |(e^c/r((n)!))| = (e^c/r((n)!))
17. x < r0
18. rmax(r0;x) = r0
19. rmin(r0;x) = x
⊢ |x - c| ≤ |x|

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  (r1/r(4))\} 
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  \mneg{}(n  =  0)
4.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
5.  c  :  \mBbbR{}
6.  rmin(r0;x)  \mleq{}  c
7.  c  \mleq{}  rmax(r0;x)
8.  r0  <  r(4\^{}n  *  3  *  (n)!)
9.  v  :  \mBbbR{}
10.  Taylor-remainder((-\minfty{},  \minfty{});n;x;r0;k,x.e\^{}x)  =  v
11.  v1  :  \mBbbR{}
12.  (e\^{}x  -  \mSigma{}\{(x\^{}k/r((k)!))  |  0\mleq{}k\mleq{}n\})  =  v1
13.  |v  -  (x  -  c\^{}n  *  (e\^{}c/r((n)!)))  *  (x  -  r0)|  \mleq{}  e
14.  v1  =  v
15.  |x  -  r0|  \mleq{}  (r1/r(4))
16.  |(e\^{}c/r((n)!))|  =  (e\^{}c/r((n)!))
17.  x  <  r0
\mvdash{}  |x  -  c|  \mleq{}  |x|


By

---

Latex:
((Assert  rmax(r0;x)  =  r0  BY  EAuto  1)  THEN  (Assert  rmin(r0;x)  =  x  BY  EAuto  1))

---

Home Index