---

Step * 1 1 2 1 1 1 1 of Lemma third-derivative-log-contraction-bound


1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. x : ℝ
3. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
4. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
5. b : ℝ
6. e^x = b ∈ ℝ
7. (a + b^4 + (r(8) * a^3 * b) + (r(8) * b^3 * a))
= ((a^2^2 + b^2^2) + (r(12) * a^3 * b) + (r(12) * b^3 * a) + (r(6) * a^2 * b^2))
8. (r(2) * a * b) ≤ (a^2 + b^2)
⊢ (r(24) * a^2 * b^2) ≤ ((r(12) * a^3 * b) + (r(12) * b^3 * a))
BY
{ nRMul ⌜r(12) * a * b⌝ (-1)⋅ }

1
.....antecedent..... 
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. x : ℝ
3. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
4. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
5. b : ℝ
6. e^x = b ∈ ℝ
7. (a + b^4 + (r(8) * a^3 * b) + (r(8) * b^3 * a))
= ((a^2^2 + b^2^2) + (r(12) * a^3 * b) + (r(12) * b^3 * a) + (r(6) * a^2 * b^2))
8. (r(2) * a * b) ≤ (a^2 + b^2)
⊢ r0 ≤ (r(12) * a * b)

2
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. x : ℝ
3. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
4. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
5. b : ℝ
6. e^x = b ∈ ℝ
7. (a + b^4 + (r(8) * a^3 * b) + (r(8) * b^3 * a))
= ((a^2^2 + b^2^2) + (r(12) * a^3 * b) + (r(12) * b^3 * a) + (r(6) * a^2 * b^2))
8. (r(24) * a * a * b * b) ≤ ((r(12) * a^2 * a * b) + (r(12) * b^2 * a * b))
⊢ (r(24) * a^2 * b^2) ≤ ((r(12) * a^3 * b) + (r(12) * b^3 * a))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\} 
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}n)
5.  b  :  \mBbbR{}
6.  e\^{}x  =  b
7.  (a  +  b\^{}4  +  (r(8)  *  a\^{}3  *  b)  +  (r(8)  *  b\^{}3  *  a))
=  ((a\^{}2\^{}2  +  b\^{}2\^{}2)  +  (r(12)  *  a\^{}3  *  b)  +  (r(12)  *  b\^{}3  *  a)  +  (r(6)  *  a\^{}2  *  b\^{}2))
8.  (r(2)  *  a  *  b)  \mleq{}  (a\^{}2  +  b\^{}2)
\mvdash{}  (r(24)  *  a\^{}2  *  b\^{}2)  \mleq{}  ((r(12)  *  a\^{}3  *  b)  +  (r(12)  *  b\^{}3  *  a))


By

---

Latex:
nRMul  \mkleeneopen{}r(12)  *  a  *  b\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}

---

Home Index