---

Step * 13 5 of Lemma functor-curry_wf


1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. C : SmallCategory
4. F : cat-ob(FUN(A × B;C))
5. x@0 : cat-ob(A)
6. y : cat-ob(A)
7. z : cat-ob(A)
8. f : cat-arrow(A) x@0 y
9. g : cat-arrow(A) y z
⊢ b |→ F <x@0, b> <z, b> <cat-comp(A) x@0 y z f g, cat-id(B) b>
= b |→ F <x@0, b> <y, b> <f, cat-id(B) b> o b |→ F <y, b> <z, b> <g, cat-id(B) b>
∈ nat-trans(B;C;functor(ob(b) = F <x@0, b>;
                        arrow(x1,y,f) = F <x@0, x1> <x@0, y> <cat-id(A) x@0, f>);functor(ob(b) = F <z, b>;
                                                                    arrow(x@0,y,f) = F <z, x@0> <z, y> <cat-id(A) z, f>)\000C)
BY
{ NatTransEq THEN Reduce 0 }

1
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. C : SmallCategory
4. F : cat-ob(FUN(A × B;C))
5. x@0 : cat-ob(A)
6. y : cat-ob(A)
7. z : cat-ob(A)
8. f : cat-arrow(A) x@0 y
9. g : cat-arrow(A) y z
10. b : cat-ob(B)
⊢ (F <x@0, b> <z, b> <cat-comp(A) x@0 y z f g, cat-id(B) b>)
= (cat-comp(C) (F <x@0, b>) (F <y, b>) (F <z, b>) (F <x@0, b> <y, b> <f, cat-id(B) b>) (F <y, b> <z, b> <g, cat-id(B) b>\000C))
∈ (cat-arrow(C) (F <x@0, b>) (F <z, b>))

2
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. C : SmallCategory
4. F : cat-ob(FUN(A × B;C))
5. x@0 : cat-ob(A)
6. y : cat-ob(A)
7. z : cat-ob(A)
8. f : cat-arrow(A) x@0 y
9. g : cat-arrow(A) y z
10. A@0 : cat-ob(B)
11. B@0 : cat-ob(B)
12. g1 : cat-arrow(B) A@0 B@0
⊢ (cat-comp(C) (F <x@0, A@0>) (F <z, A@0>) (F <z, B@0>) (F <x@0, A@0> <z, A@0> <cat-comp(A) x@0 y z f g, cat-id(B) A@0>)\000C (F <z, A@0> <z, B@0> <cat-id(A) z, g1>))
= (cat-comp(C) (F <x@0, A@0>) (F <x@0, B@0>) (F <z, B@0>) (F <x@0, A@0> <x@0, B@0> <cat-id(A) x@0, g1>) 
   (F <x@0, B@0> <z, B@0> <cat-comp(A) x@0 y z f g, cat-id(B) B@0>))
∈ (cat-arrow(C) (F <x@0, A@0>) (F <z, B@0>))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  C  :  SmallCategory
4.  F  :  cat-ob(FUN(A  \mtimes{}  B;C))
5.  x@0  :  cat-ob(A)
6.  y  :  cat-ob(A)
7.  z  :  cat-ob(A)
8.  f  :  cat-arrow(A)  x@0  y
9.  g  :  cat-arrow(A)  y  z
\mvdash{}  b  |\mrightarrow{}  F  <x@0,  b>  <z,  b>  <cat-comp(A)  x@0  y  z  f  g,  cat-id(B)  b>  =  b  |\mrightarrow{}  F  <x@0,  b>  <y,  b>  <f,  cat-id(\000CB)  b>  o  b  |\mrightarrow{}  F  <y,  b>  <z,  b>  <g,  cat-id(B)  b>


By

---

Latex:
NatTransEq  THEN  Reduce  0

---

Home Index