---

Step * 8 of Lemma functor-curry_wf


1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. C : SmallCategory
4. F : cat-ob(FUN(A × B;C))
5. G : cat-ob(FUN(A × B;C))
6. T : cat-arrow(FUN(A × B;C)) F G
7. x : cat-ob(A)
8. y@0 : cat-ob(A)
9. z : cat-ob(A)
10. f : cat-arrow(A) x y@0
11. g : cat-arrow(A) y@0 z
⊢ b |→ G <x, b> <z, b> <cat-comp(A) x y@0 z f g, cat-id(B) b>
= b |→ G <x, b> <y@0, b> <f, cat-id(B) b> o b |→ G <y@0, b> <z, b> <g, cat-id(B) b>
∈ nat-trans(B;C;functor(ob(b) = G <x, b>;
                        arrow(x@0,y@0,f) = G <x, x@0> <x, y@0> <cat-id(A) x, f>);functor(ob(b) = G <z, b>;
                                                                     arrow(x,y@0,f) = G <z, x> <z, y@0> <cat-id(A) z, f>\000C))
BY
{ NatTransEq THEN Reduce 0 }

1
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. C : SmallCategory
4. F : cat-ob(FUN(A × B;C))
5. G : cat-ob(FUN(A × B;C))
6. T : cat-arrow(FUN(A × B;C)) F G
7. x : cat-ob(A)
8. y@0 : cat-ob(A)
9. z : cat-ob(A)
10. f : cat-arrow(A) x y@0
11. g : cat-arrow(A) y@0 z
12. b : cat-ob(B)
⊢ (G <x, b> <z, b> <cat-comp(A) x y@0 z f g, cat-id(B) b>)
= (cat-comp(C) (G <x, b>) (G <y@0, b>) (G <z, b>) (G <x, b> <y@0, b> <f, cat-id(B) b>) (G <y@0, b> <z, b> <g, cat-id(B) \000Cb>))
∈ (cat-arrow(C) (G <x, b>) (G <z, b>))

2
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. C : SmallCategory
4. F : cat-ob(FUN(A × B;C))
5. G : cat-ob(FUN(A × B;C))
6. T : cat-arrow(FUN(A × B;C)) F G
7. x : cat-ob(A)
8. y@0 : cat-ob(A)
9. z : cat-ob(A)
10. f : cat-arrow(A) x y@0
11. g : cat-arrow(A) y@0 z
12. A@0 : cat-ob(B)
13. B@0 : cat-ob(B)
14. g1 : cat-arrow(B) A@0 B@0
⊢ (cat-comp(C) (G <x, A@0>) (G <z, A@0>) (G <z, B@0>) (G <x, A@0> <z, A@0> <cat-comp(A) x y@0 z f g, cat-id(B) A@0>) (G \000C<z, A@0> <z, B@0> <cat-id(A) z, g1>))
= (cat-comp(C) (G <x, A@0>) (G <x, B@0>) (G <z, B@0>) (G <x, A@0> <x, B@0> <cat-id(A) x, g1>) (G <x, B@0> <z, B@0> <cat-\000Ccomp(A) x y@0 z f g, cat-id(B) B@0>))
∈ (cat-arrow(C) (G <x, A@0>) (G <z, B@0>))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  C  :  SmallCategory
4.  F  :  cat-ob(FUN(A  \mtimes{}  B;C))
5.  G  :  cat-ob(FUN(A  \mtimes{}  B;C))
6.  T  :  cat-arrow(FUN(A  \mtimes{}  B;C))  F  G
7.  x  :  cat-ob(A)
8.  y@0  :  cat-ob(A)
9.  z  :  cat-ob(A)
10.  f  :  cat-arrow(A)  x  y@0
11.  g  :  cat-arrow(A)  y@0  z
\mvdash{}  b  |\mrightarrow{}  G  <x,  b>  <z,  b>  <cat-comp(A)  x  y@0  z  f  g,  cat-id(B)  b>  =  b  |\mrightarrow{}  G  <x,  b>  <y@0,  b>  <f,  cat-id(B)\000C  b>  o  b  |\mrightarrow{}  G  <y@0,  b>  <z,  b>  <g,  cat-id(B)  b>


By

---

Latex:
NatTransEq  THEN  Reduce  0

---

Home Index