---

Step * 1 of Lemma functor-is-isomorphism


1. [A] : SmallCategory
2. [B] : SmallCategory
3. f : Functor(A;B)
4. ∃g:Functor(B;A). ((functor-comp(f;g) = 1 ∈ Functor(A;A)) ∧ (functor-comp(g;f) = 1 ∈ Functor(B;B)))
⊢ Bij(cat-ob(A);cat-ob(B);ob(f))
∧ (∀x,y:cat-ob(A).  Bij(cat-arrow(A) x y;cat-arrow(B) (ob(f) x) (ob(f) y);arrow(f) x y))
BY
{ (ExRepD
   THEN (Assert ∀a:cat-ob(A). ((ob(g) (ob(f) a)) = a ∈ cat-ob(A)) BY
               ((D 0 THENA Auto)
                THEN (ApFunToHypEquands `Z' ⌜ob(Z) a⌝ ⌜cat-ob(A)⌝ 5⋅ THENA Auto)
                THEN RepUR ``id_functor functor-comp`` -1
                THEN Eq))
   THEN (Assert ∀b:cat-ob(B). ((ob(f) (ob(g) b)) = b ∈ cat-ob(B)) BY
               ((D 0 THENA Auto)
                THEN (ApFunToHypEquands `Z' ⌜ob(Z) b⌝ ⌜cat-ob(B)⌝ 6⋅ THENA Auto)
                THEN RepUR ``id_functor functor-comp`` -1
                THEN Eq))) }

1
1. [A] : SmallCategory
2. [B] : SmallCategory
3. f : Functor(A;B)
4. g : Functor(B;A)
5. functor-comp(f;g) = 1 ∈ Functor(A;A)
6. functor-comp(g;f) = 1 ∈ Functor(B;B)
7. ∀a:cat-ob(A). ((ob(g) (ob(f) a)) = a ∈ cat-ob(A))
8. ∀b:cat-ob(B). ((ob(f) (ob(g) b)) = b ∈ cat-ob(B))
⊢ Bij(cat-ob(A);cat-ob(B);ob(f))
∧ (∀x,y:cat-ob(A).  Bij(cat-arrow(A) x y;cat-arrow(B) (ob(f) x) (ob(f) y);arrow(f) x y))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  SmallCategory
2.  [B]  :  SmallCategory
3.  f  :  Functor(A;B)
4.  \mexists{}g:Functor(B;A).  ((functor-comp(f;g)  =  1)  \mwedge{}  (functor-comp(g;f)  =  1))
\mvdash{}  Bij(cat-ob(A);cat-ob(B);ob(f))
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:cat-ob(A).    Bij(cat-arrow(A)  x  y;cat-arrow(B)  (ob(f)  x)  (ob(f)  y);arrow(f)  x  y))


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  (Assert  \mforall{}a:cat-ob(A).  ((ob(g)  (ob(f)  a))  =  a)  BY
                          ((D  0  THENA  Auto)
                            THEN  (ApFunToHypEquands  `Z'  \mkleeneopen{}ob(Z)  a\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}cat-ob(A)\mkleeneclose{}  5\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  RepUR  ``id\_functor  functor-comp``  -1
                            THEN  Eq))
  THEN  (Assert  \mforall{}b:cat-ob(B).  ((ob(f)  (ob(g)  b))  =  b)  BY
                          ((D  0  THENA  Auto)
                            THEN  (ApFunToHypEquands  `Z'  \mkleeneopen{}ob(Z)  b\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}cat-ob(B)\mkleeneclose{}  6\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  RepUR  ``id\_functor  functor-comp``  -1
                            THEN  Eq)))

---

Home Index