---

Step * 2 1 1 1 of Lemma functor-is-isomorphism


1. [A] : SmallCategory
2. [B] : SmallCategory
3. f : Functor(A;B)
4. Bij(cat-ob(A);cat-ob(B);ob(f))
5. ∀x,y:cat-ob(A).  Bij(cat-arrow(A) x y;cat-arrow(B) (ob(f) x) (ob(f) y);arrow(f) x y)
6. g : cat-ob(B) ⟶ cat-ob(A)
7. ∀b:cat-ob(B). ((ob(f) (g b)) = b ∈ cat-ob(B))
8. ∀a:cat-ob(A). ((g (ob(f) a)) = a ∈ cat-ob(A))
9. ∀x,y:cat-ob(B).  Bij(cat-arrow(A) (g x) (g y);cat-arrow(B) x y;arrow(f) (g x) (g y))
⊢ ∃g:Functor(B;A). ((functor-comp(f;g) = 1 ∈ Functor(A;A)) ∧ (functor-comp(g;f) = 1 ∈ Functor(B;B)))
BY
{ (Assert ∀x,y:cat-ob(B).
            ∃h:(cat-arrow(B) x y) ⟶ (cat-arrow(A) (g x) (g y))
             ((∀r:cat-arrow(B) x y. ((arrow(f) (g x) (g y) (h r)) = r ∈ (cat-arrow(B) x y)))
             ∧ (∀t:cat-arrow(A) (g x) (g y). ((h (arrow(f) (g x) (g y) t)) = t ∈ (cat-arrow(A) (g x) (g y))))) BY
         (RepeatFor 2 (ParallelLast) THEN FLemma `biject-inverse` [-1] THEN Auto)) }

1
1. [A] : SmallCategory
2. [B] : SmallCategory
3. f : Functor(A;B)
4. Bij(cat-ob(A);cat-ob(B);ob(f))
5. ∀x,y:cat-ob(A).  Bij(cat-arrow(A) x y;cat-arrow(B) (ob(f) x) (ob(f) y);arrow(f) x y)
6. g : cat-ob(B) ⟶ cat-ob(A)
7. ∀b:cat-ob(B). ((ob(f) (g b)) = b ∈ cat-ob(B))
8. ∀a:cat-ob(A). ((g (ob(f) a)) = a ∈ cat-ob(A))
9. ∀x,y:cat-ob(B).  Bij(cat-arrow(A) (g x) (g y);cat-arrow(B) x y;arrow(f) (g x) (g y))
10. ∀x,y:cat-ob(B).
      ∃h:(cat-arrow(B) x y) ⟶ (cat-arrow(A) (g x) (g y))
       ((∀r:cat-arrow(B) x y. ((arrow(f) (g x) (g y) (h r)) = r ∈ (cat-arrow(B) x y)))
       ∧ (∀t:cat-arrow(A) (g x) (g y). ((h (arrow(f) (g x) (g y) t)) = t ∈ (cat-arrow(A) (g x) (g y)))))
⊢ ∃g:Functor(B;A). ((functor-comp(f;g) = 1 ∈ Functor(A;A)) ∧ (functor-comp(g;f) = 1 ∈ Functor(B;B)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  SmallCategory
2.  [B]  :  SmallCategory
3.  f  :  Functor(A;B)
4.  Bij(cat-ob(A);cat-ob(B);ob(f))
5.  \mforall{}x,y:cat-ob(A).    Bij(cat-arrow(A)  x  y;cat-arrow(B)  (ob(f)  x)  (ob(f)  y);arrow(f)  x  y)
6.  g  :  cat-ob(B)  {}\mrightarrow{}  cat-ob(A)
7.  \mforall{}b:cat-ob(B).  ((ob(f)  (g  b))  =  b)
8.  \mforall{}a:cat-ob(A).  ((g  (ob(f)  a))  =  a)
9.  \mforall{}x,y:cat-ob(B).    Bij(cat-arrow(A)  (g  x)  (g  y);cat-arrow(B)  x  y;arrow(f)  (g  x)  (g  y))
\mvdash{}  \mexists{}g:Functor(B;A).  ((functor-comp(f;g)  =  1)  \mwedge{}  (functor-comp(g;f)  =  1))


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}x,y:cat-ob(B).
                    \mexists{}h:(cat-arrow(B)  x  y)  {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(A)  (g  x)  (g  y))
                      ((\mforall{}r:cat-arrow(B)  x  y.  ((arrow(f)  (g  x)  (g  y)  (h  r))  =  r))
                      \mwedge{}  (\mforall{}t:cat-arrow(A)  (g  x)  (g  y).  ((h  (arrow(f)  (g  x)  (g  y)  t))  =  t)))  BY
              (RepeatFor  2  (ParallelLast)  THEN  FLemma  `biject-inverse`  [-1]  THEN  Auto))

---

Home Index