Step
*
1
of Lemma
monad-extend-comp
1. C : SmallCategory
2. T : Functor(C;C)
3. M2 : A:cat-ob(C) ⟶ (cat-arrow(C) A (ob(T) A))
4. ∀A,B:cat-ob(C). ∀g:cat-arrow(C) A B.
((cat-comp(C) A (ob(T) A) (ob(T) B) (M2 A) (arrow(T) A B g))
= (cat-comp(C) A B (ob(T) B) g (M2 B))
∈ (cat-arrow(C) A (ob(T) B)))
5. M3 : A:cat-ob(C) ⟶ (cat-arrow(C) (ob(T) (ob(T) A)) (ob(T) A))
6. ∀A,B:cat-ob(C). ∀g:cat-arrow(C) A B.
((cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) A)) (ob(T) A) (ob(T) B) (M3 A) (arrow(T) A B g))
= (cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) A)) (ob(T) (ob(T) B)) (ob(T) B) (arrow(T) (ob(T) A) (ob(T) B) (arrow(T) A B g))
(M3 B))
∈ (cat-arrow(C) (ob(T) (ob(T) A)) (ob(T) B)))
7. ∀X:cat-ob(C)
((cat-comp(C) (ob(T) X) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (M2 (ob(T) X)) (M3 X))
= (cat-id(C) (ob(T) X))
∈ (cat-arrow(C) (ob(T) X) (ob(T) X)))
8. ∀X:cat-ob(C)
((cat-comp(C) (ob(T) X) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (arrow(T) X (ob(T) X) (M2 X)) (M3 X))
= (cat-id(C) (ob(T) X))
∈ (cat-arrow(C) (ob(T) X) (ob(T) X)))
9. ∀X:cat-ob(C)
((cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) (ob(T) X))) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (M3 (ob(T) X)) (M3 X))
= (cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) (ob(T) X))) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (arrow(T) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (M3 X))
(M3 X))
∈ (cat-arrow(C) (ob(T) (ob(T) (ob(T) X))) (ob(T) X)))
10. x : cat-ob(C)
11. y : cat-ob(C)
12. z : cat-ob(C)
13. g : cat-arrow(C) x (ob(T) y)
14. h : cat-arrow(C) y (ob(T) z)
⊢ (cat-comp(C) (ob(T) x) (ob(T) (ob(T) z)) (ob(T) z)
(arrow(T) x (ob(T) z)
(cat-comp(C) x (ob(T) y) (ob(T) z) g
(cat-comp(C) (ob(T) y) (ob(T) (ob(T) z)) (ob(T) z) (arrow(T) y (ob(T) z) h) (M3 z))))
(M3 z))
= (cat-comp(C) (ob(T) x) (ob(T) y) (ob(T) z)
(cat-comp(C) (ob(T) x) (ob(T) (ob(T) y)) (ob(T) y) (arrow(T) x (ob(T) y) g) (M3 y))
(cat-comp(C) (ob(T) y) (ob(T) (ob(T) z)) (ob(T) z) (arrow(T) y (ob(T) z) h) (M3 z)))
∈ (cat-arrow(C) (ob(T) x) (ob(T) z))
BY
{ ((RW CatNormC 0 THENA Auto) THEN All (Folds ``cat_comp functor_arrow``)) }
1
1. C : SmallCategory
2. T : Functor(C;C)
3. M2 : A:cat-ob(C) ⟶ (cat-arrow(C) A (ob(T) A))
4. ∀A,B:cat-ob(C). ∀g:cat-arrow(C) A B. (T(g) o M2 A = M2 B o g ∈ (cat-arrow(C) A (ob(T) B)))
5. M3 : A:cat-ob(C) ⟶ (cat-arrow(C) (ob(T) (ob(T) A)) (ob(T) A))
6. ∀A,B:cat-ob(C). ∀g:cat-arrow(C) A B. (T(g) o M3 A = M3 B o T(T(g)) ∈ (cat-arrow(C) (ob(T) (ob(T) A)) (ob(T) B)))
7. ∀X:cat-ob(C). (M3 X o M2 (ob(T) X) = (cat-id(C) (ob(T) X)) ∈ (cat-arrow(C) (ob(T) X) (ob(T) X)))
8. ∀X:cat-ob(C). (M3 X o T(M2 X) = (cat-id(C) (ob(T) X)) ∈ (cat-arrow(C) (ob(T) X) (ob(T) X)))
9. ∀X:cat-ob(C). (M3 X o M3 (ob(T) X) = M3 X o T(M3 X) ∈ (cat-arrow(C) (ob(T) (ob(T) (ob(T) X))) (ob(T) X)))
10. x : cat-ob(C)
11. y : cat-ob(C)
12. z : cat-ob(C)
13. g : cat-arrow(C) x (ob(T) y)
14. h : cat-arrow(C) y (ob(T) z)
⊢ M3 z o T(M3 z) o T(T(h)) o T(g) = M3 z o T(h) o M3 y o T(g) ∈ (cat-arrow(C) (ob(T) x) (ob(T) z))
Latex:
Latex:
1. C : SmallCategory
2. T : Functor(C;C)
3. M2 : A:cat-ob(C) {}\mrightarrow{} (cat-arrow(C) A (ob(T) A))
4. \mforall{}A,B:cat-ob(C). \mforall{}g:cat-arrow(C) A B.
((cat-comp(C) A (ob(T) A) (ob(T) B) (M2 A) (arrow(T) A B g))
= (cat-comp(C) A B (ob(T) B) g (M2 B)))
5. M3 : A:cat-ob(C) {}\mrightarrow{} (cat-arrow(C) (ob(T) (ob(T) A)) (ob(T) A))
6. \mforall{}A,B:cat-ob(C). \mforall{}g:cat-arrow(C) A B.
((cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) A)) (ob(T) A) (ob(T) B) (M3 A) (arrow(T) A B g))
= (cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) A)) (ob(T) (ob(T) B)) (ob(T) B)
(arrow(T) (ob(T) A) (ob(T) B) (arrow(T) A B g))
(M3 B)))
7. \mforall{}X:cat-ob(C)
((cat-comp(C) (ob(T) X) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (M2 (ob(T) X)) (M3 X))
= (cat-id(C) (ob(T) X)))
8. \mforall{}X:cat-ob(C)
((cat-comp(C) (ob(T) X) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (arrow(T) X (ob(T) X) (M2 X)) (M3 X))
= (cat-id(C) (ob(T) X)))
9. \mforall{}X:cat-ob(C)
((cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) (ob(T) X))) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (M3 (ob(T) X)) (M3 X))
= (cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) (ob(T) X))) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X)
(arrow(T) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (M3 X))
(M3 X)))
10. x : cat-ob(C)
11. y : cat-ob(C)
12. z : cat-ob(C)
13. g : cat-arrow(C) x (ob(T) y)
14. h : cat-arrow(C) y (ob(T) z)
\mvdash{} (cat-comp(C) (ob(T) x) (ob(T) (ob(T) z)) (ob(T) z)
(arrow(T) x (ob(T) z)
(cat-comp(C) x (ob(T) y) (ob(T) z) g
(cat-comp(C) (ob(T) y) (ob(T) (ob(T) z)) (ob(T) z) (arrow(T) y (ob(T) z) h) (M3 z))))
(M3 z))
= (cat-comp(C) (ob(T) x) (ob(T) y) (ob(T) z)
(cat-comp(C) (ob(T) x) (ob(T) (ob(T) y)) (ob(T) y) (arrow(T) x (ob(T) y) g) (M3 y))
(cat-comp(C) (ob(T) y) (ob(T) (ob(T) z)) (ob(T) z) (arrow(T) y (ob(T) z) h) (M3 z)))
By
Latex:
((RW CatNormC 0 THENA Auto) THEN All (Folds ``cat\_comp functor\_arrow``))
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