---

Step * 1 of Lemma monad-unit-extend


1. C : SmallCategory
2. T : Functor(C;C)
3. M2 : A:cat-ob(C) ⟶ (cat-arrow(C) A (ob(T) A))
4. ∀A,B:cat-ob(C). ∀g:cat-arrow(C) A B.
     ((cat-comp(C) A (ob(T) A) (ob(T) B) (M2 A) (arrow(T) A B g))
     = (cat-comp(C) A B (ob(T) B) g (M2 B))
     ∈ (cat-arrow(C) A (ob(T) B)))
5. M3 : A:cat-ob(C) ⟶ (cat-arrow(C) (ob(T) (ob(T) A)) (ob(T) A))
6. ∀A,B:cat-ob(C). ∀g:cat-arrow(C) A B.
     ((cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) A)) (ob(T) A) (ob(T) B) (M3 A) (arrow(T) A B g))
     = (cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) A)) (ob(T) (ob(T) B)) (ob(T) B) (arrow(T) (ob(T) A) (ob(T) B) (arrow(T) A B g)) 
        (M3 B))
     ∈ (cat-arrow(C) (ob(T) (ob(T) A)) (ob(T) B)))
7. ∀X:cat-ob(C)
     ((cat-comp(C) (ob(T) X) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (M2 (ob(T) X)) (M3 X))
     = (cat-id(C) (ob(T) X))
     ∈ (cat-arrow(C) (ob(T) X) (ob(T) X)))
8. ∀X:cat-ob(C)
     ((cat-comp(C) (ob(T) X) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (arrow(T) X (ob(T) X) (M2 X)) (M3 X))
     = (cat-id(C) (ob(T) X))
     ∈ (cat-arrow(C) (ob(T) X) (ob(T) X)))
9. ∀X:cat-ob(C)
     ((cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) (ob(T) X))) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (M3 (ob(T) X)) (M3 X))
     = (cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) (ob(T) X))) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (arrow(T) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (M3 X)) 
        (M3 X))
     ∈ (cat-arrow(C) (ob(T) (ob(T) (ob(T) X))) (ob(T) X)))
10. x : cat-ob(C)
11. y : cat-ob(C)
12. f : cat-arrow(C) x (ob(T) y)
⊢ (cat-comp(C) x (ob(T) x) (ob(T) y) (M2 x) 
   (cat-comp(C) (ob(T) x) (ob(T) (ob(T) y)) (ob(T) y) (arrow(T) x (ob(T) y) f) (M3 y)))
= f
∈ (cat-arrow(C) x (ob(T) y))
BY
{ ((RWO "cat-comp-assoc<" 0 THENA Auto) THEN RWO "4" 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  T  :  Functor(C;C)
3.  M2  :  A:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(C)  A  (ob(T)  A))
4.  \mforall{}A,B:cat-ob(C).  \mforall{}g:cat-arrow(C)  A  B.
          ((cat-comp(C)  A  (ob(T)  A)  (ob(T)  B)  (M2  A)  (arrow(T)  A  B  g))
          =  (cat-comp(C)  A  B  (ob(T)  B)  g  (M2  B)))
5.  M3  :  A:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(C)  (ob(T)  (ob(T)  A))  (ob(T)  A))
6.  \mforall{}A,B:cat-ob(C).  \mforall{}g:cat-arrow(C)  A  B.
          ((cat-comp(C)  (ob(T)  (ob(T)  A))  (ob(T)  A)  (ob(T)  B)  (M3  A)  (arrow(T)  A  B  g))
          =  (cat-comp(C)  (ob(T)  (ob(T)  A))  (ob(T)  (ob(T)  B))  (ob(T)  B) 
                (arrow(T)  (ob(T)  A)  (ob(T)  B)  (arrow(T)  A  B  g)) 
                (M3  B)))
7.  \mforall{}X:cat-ob(C)
          ((cat-comp(C)  (ob(T)  X)  (ob(T)  (ob(T)  X))  (ob(T)  X)  (M2  (ob(T)  X))  (M3  X))
          =  (cat-id(C)  (ob(T)  X)))
8.  \mforall{}X:cat-ob(C)
          ((cat-comp(C)  (ob(T)  X)  (ob(T)  (ob(T)  X))  (ob(T)  X)  (arrow(T)  X  (ob(T)  X)  (M2  X))  (M3  X))
          =  (cat-id(C)  (ob(T)  X)))
9.  \mforall{}X:cat-ob(C)
          ((cat-comp(C)  (ob(T)  (ob(T)  (ob(T)  X)))  (ob(T)  (ob(T)  X))  (ob(T)  X)  (M3  (ob(T)  X))  (M3  X))
          =  (cat-comp(C)  (ob(T)  (ob(T)  (ob(T)  X)))  (ob(T)  (ob(T)  X))  (ob(T)  X) 
                (arrow(T)  (ob(T)  (ob(T)  X))  (ob(T)  X)  (M3  X)) 
                (M3  X)))
10.  x  :  cat-ob(C)
11.  y  :  cat-ob(C)
12.  f  :  cat-arrow(C)  x  (ob(T)  y)
\mvdash{}  (cat-comp(C)  x  (ob(T)  x)  (ob(T)  y)  (M2  x) 
      (cat-comp(C)  (ob(T)  x)  (ob(T)  (ob(T)  y))  (ob(T)  y)  (arrow(T)  x  (ob(T)  y)  f)  (M3  y)))
=  f


By

---

Latex:
((RWO  "cat-comp-assoc<"  0  THENA  Auto)  THEN  RWO  "4"  0  THEN  Auto)

---

Home Index