---

Step * 3 of Lemma yoneda-embedding_wf


1. C : SmallCategory
2. X : cat-ob(C)
3. Y : cat-ob(C)
4. z : cat-ob(C)
5. f : cat-arrow(C) X Y
6. g : cat-arrow(C) Y z
⊢ A |→ λg@0.(cat-comp(C) A X z g@0 (cat-comp(C) X Y z f g))
= A |→ λg.(cat-comp(C) A X Y g f) o A |→ λg@0.(cat-comp(C) A Y z g@0 g)
∈ nat-trans(op-cat(C);TypeCat;rep-pre-sheaf(C;X);rep-pre-sheaf(C;z))
BY
{ (RepUR ``functor-cat trans-comp`` 0 THEN EqCDA) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. C : SmallCategory
2. X : cat-ob(C)
3. Y : cat-ob(C)
4. z : cat-ob(C)
5. f : cat-arrow(C) X Y
6. g : cat-arrow(C) Y z
7. A : cat-ob(op-cat(C))
⊢ (λg@0.(cat-comp(C) A X z g@0 (cat-comp(C) X Y z f g)))
= (cat-comp(TypeCat) (ob(rep-pre-sheaf(C;X)) A) (ob(rep-pre-sheaf(C;Y)) A) (ob(rep-pre-sheaf(C;z)) A) 
   (λg.(cat-comp(C) A X Y g f)) 
   (λg@0.(cat-comp(C) A Y z g@0 g)))
∈ (cat-arrow(TypeCat) (ob(rep-pre-sheaf(C;X)) A) (ob(rep-pre-sheaf(C;z)) A))

2
.....antecedent..... 
1. C : SmallCategory
2. X : cat-ob(C)
3. Y : cat-ob(C)
4. z : cat-ob(C)
5. f : cat-arrow(C) X Y
6. g : cat-arrow(C) Y z
⊢ ∀A,B:cat-ob(op-cat(C)). ∀g1:cat-arrow(op-cat(C)) A B.
    ((cat-comp(TypeCat) (ob(rep-pre-sheaf(C;X)) A) (ob(rep-pre-sheaf(C;z)) A) (ob(rep-pre-sheaf(C;z)) B) 
      (λg@0.(cat-comp(C) A X z g@0 (cat-comp(C) X Y z f g))) 
      (arrow(rep-pre-sheaf(C;z)) A B g1))
    = (cat-comp(TypeCat) (ob(rep-pre-sheaf(C;X)) A) (ob(rep-pre-sheaf(C;X)) B) (ob(rep-pre-sheaf(C;z)) B) 
       (arrow(rep-pre-sheaf(C;X)) A B g1) 
       (λg@0.(cat-comp(C) B X z g@0 (cat-comp(C) X Y z f g))))
    ∈ (cat-arrow(TypeCat) (ob(rep-pre-sheaf(C;X)) A) (ob(rep-pre-sheaf(C;z)) B)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  X  :  cat-ob(C)
3.  Y  :  cat-ob(C)
4.  z  :  cat-ob(C)
5.  f  :  cat-arrow(C)  X  Y
6.  g  :  cat-arrow(C)  Y  z
\mvdash{}  A  |\mrightarrow{}  \mlambda{}g@0.(cat-comp(C)  A  X  z  g@0  (cat-comp(C)  X  Y  z  f  g))
=  A  |\mrightarrow{}  \mlambda{}g.(cat-comp(C)  A  X  Y  g  f)  o  A  |\mrightarrow{}  \mlambda{}g@0.(cat-comp(C)  A  Y  z  g@0  g)


By

---

Latex:
(RepUR  ``functor-cat  trans-comp``  0  THEN  EqCDA)

---

Home Index