---

Step * 2 of Lemma simple_fan_theorem


1. [X] : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ 𝔹.  Dec(X[n;s])
4. n : ℕ@i
5. s : ℕn ⟶ 𝔹@i
6. ∀t:𝔹. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)])])
⊢ ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[n + m;seq-append(n;m;s;f)])]
BY
{ (((InstHyp [⌜tt⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
    THEN RenameVar `aa' (-1)
    THEN Unfold `sq_exists` -1
    THEN (Evaluate ⌜a = aa ∈ {k:ℕ| ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++tt;f)]} ⌝⋅ THENA Auto)
    THEN ThinVar `aa')
   THEN (InstHyp [⌜ff⌝] (-2)⋅ THENA Auto)
   THEN RenameVar `bb' (-1)
   THEN Unfold `sq_exists` -1
   THEN (Evaluate ⌜b = bb ∈ {k:ℕ| ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++ff;f)]} ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN ThinVar `bb'
   THEN DSetVars
   THEN With ⌜1 + if (a) < (b)  then b  else a⌝ (D 0)⋅
   THEN Auto)⋅ }

1
1. X : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ 𝔹.  Dec(X[n;s])
4. n : ℕ@i
5. s : ℕn ⟶ 𝔹@i
6. ∀t:𝔹. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)])])
7. a : ℕ
8. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕa. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++tt;f)]
9. b : ℕ
10. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕb. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++ff;f)]
11. f : ℕ ⟶ 𝔹@i
⊢ ∃m:ℕ1 + if (a) < (b)  then b  else a. X[n + m;seq-append(n;m;s;f)]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  X[n;f])
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    Dec(X[n;s])
4.  n  :  \mBbbN{}@i
5.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}@i
6.  \mforall{}t:\mBbbB{}.  (\mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[(n  +  1)  +  m;seq-append(n  +  1;m;s++t;f)])])
\mvdash{}  \mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[n  +  m;seq-append(n;m;s;f)])]


By

---

Latex:
(((InstHyp  [\mkleeneopen{}tt\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
    THEN  RenameVar  `aa'  (-1)
    THEN  Unfold  `sq\_exists`  -1
    THEN  (Evaluate  \mkleeneopen{}a  =  aa\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
    THEN  ThinVar  `aa')
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}ff\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RenameVar  `bb'  (-1)
  THEN  Unfold  `sq\_exists`  -1
  THEN  (Evaluate  \mkleeneopen{}b  =  bb\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ThinVar  `bb'
  THEN  DSetVars
  THEN  With  \mkleeneopen{}1  +  if  (a)  <  (b)    then  b    else  a\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index