Step * 1 1 1 1 2 of Lemma good-sg-win2


1. SimpleGame
2. Good Pos(g) ⟶ ℙ'
3. g0 Good[InitialPos(g)]
4. ∀p:Pos(g). ∀q:{q:Pos(g)| Legal1(p;q)} . ∀gd:Good[p].  ∃r:{r:Pos(g)| Legal2(q;r)} Good[r]
5. p:Pos(g) ⟶ q:{q:Pos(g)| Legal1(p;q)}  ⟶ gd:Good[p] ⟶ {r:Pos(g)| Legal2(q;r)} 
6. : ∀p:Pos(g). ∀q:{q:Pos(g)| Legal1(p;q)} . ∀gd:Good[p].  Good[F gd]
7. : ℤ
8. 0 < n
9. λmoves.(F moves[||moves|| 2] moves[||moves|| 1] goodAux(g0;G;moves)) ∈ win2strat(g;n 1)
10. ¬(n 0 ∈ ℤ)
11. moves strat2play(g;n 1;λmoves.(F moves[||moves|| 2] moves[||moves|| 1] goodAux(g0;G;moves)))
12. ||moves|| (2 n) ∈ ℤ
13. moves[0] InitialPos(g) ∈ Pos(g)
14. ∀i:ℕ(n 1) 1
      ((↓Legal1(moves[2 i];moves[(2 i) 1]))
      ∧ (i < 1
         ((↓Legal2(moves[(2 i) 1];moves[2 (i 1)]))
           ∧ (moves[2 (i 1)]
             ((λmoves.(F moves[||moves|| 2] moves[||moves|| 1] goodAux(g0;G;moves))) 
                play-truncate(moves;2 (i 1)))
             ∈ Pos(g)))))
15. : ℤ
16. 0 < i
17. 1 <  (goodAux(g0;G;play-truncate(moves;2 ((i 1) 1))) ∈ Good[moves[(2 ((i 1) 1)) 2]])
18. i < n
⊢ if (||play-truncate(moves;2 (i 1))|| =z 2)
  then g0
  else let goodAux(g0;G;play-truncate(play-truncate(moves;2 (i 1));||play-truncate(moves;2 (i 1))|| 2)) in
           play-truncate(moves;2 (i 1))[||play-truncate(moves;2 (i 1))|| 4] 
           play-truncate(moves;2 (i 1))[||play-truncate(moves;2 (i 1))|| 3] 
           g
  fi  ∈ Good[moves[(2 (i 1)) 2]]
BY
(D -2 THENA Auto) }

1
1. SimpleGame
2. Good Pos(g) ⟶ ℙ'
3. g0 Good[InitialPos(g)]
4. ∀p:Pos(g). ∀q:{q:Pos(g)| Legal1(p;q)} . ∀gd:Good[p].  ∃r:{r:Pos(g)| Legal2(q;r)} Good[r]
5. p:Pos(g) ⟶ q:{q:Pos(g)| Legal1(p;q)}  ⟶ gd:Good[p] ⟶ {r:Pos(g)| Legal2(q;r)} 
6. : ∀p:Pos(g). ∀q:{q:Pos(g)| Legal1(p;q)} . ∀gd:Good[p].  Good[F gd]
7. : ℤ
8. 0 < n
9. λmoves.(F moves[||moves|| 2] moves[||moves|| 1] goodAux(g0;G;moves)) ∈ win2strat(g;n 1)
10. ¬(n 0 ∈ ℤ)
11. moves strat2play(g;n 1;λmoves.(F moves[||moves|| 2] moves[||moves|| 1] goodAux(g0;G;moves)))
12. ||moves|| (2 n) ∈ ℤ
13. moves[0] InitialPos(g) ∈ Pos(g)
14. ∀i:ℕ(n 1) 1
      ((↓Legal1(moves[2 i];moves[(2 i) 1]))
      ∧ (i < 1
         ((↓Legal2(moves[(2 i) 1];moves[2 (i 1)]))
           ∧ (moves[2 (i 1)]
             ((λmoves.(F moves[||moves|| 2] moves[||moves|| 1] goodAux(g0;G;moves))) 
                play-truncate(moves;2 (i 1)))
             ∈ Pos(g)))))
15. : ℤ
16. 0 < i
17. i < n
18. goodAux(g0;G;play-truncate(moves;2 ((i 1) 1))) ∈ Good[moves[(2 ((i 1) 1)) 2]]
⊢ if (||play-truncate(moves;2 (i 1))|| =z 2)
  then g0
  else let goodAux(g0;G;play-truncate(play-truncate(moves;2 (i 1));||play-truncate(moves;2 (i 1))|| 2)) in
           play-truncate(moves;2 (i 1))[||play-truncate(moves;2 (i 1))|| 4] 
           play-truncate(moves;2 (i 1))[||play-truncate(moves;2 (i 1))|| 3] 
           g
  fi  ∈ Good[moves[(2 (i 1)) 2]]


Latex:


Latex:

1.  g  :  SimpleGame
2.  Good  :  Pos(g)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}'
3.  g0  :  Good[InitialPos(g)]
4.  \mforall{}p:Pos(g).  \mforall{}q:\{q:Pos(g)|  Legal1(p;q)\}  .  \mforall{}gd:Good[p].    \mexists{}r:\{r:Pos(g)|  Legal2(q;r)\}  .  Good[r]
5.  F  :  p:Pos(g)  {}\mrightarrow{}  q:\{q:Pos(g)|  Legal1(p;q)\}    {}\mrightarrow{}  gd:Good[p]  {}\mrightarrow{}  \{r:Pos(g)|  Legal2(q;r)\} 
6.  G  :  \mforall{}p:Pos(g).  \mforall{}q:\{q:Pos(g)|  Legal1(p;q)\}  .  \mforall{}gd:Good[p].    Good[F  p  q  gd]
7.  n  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  n
9.  \mlambda{}moves.(F  moves[||moves||  -  2]  moves[||moves||  -  1]  goodAux(g0;G;moves))  \mmember{}  win2strat(g;n  -  1)
10.  \mneg{}(n  =  0)
11.  moves  :  strat2play(g;n  -  1;\mlambda{}moves.(F  moves[||moves||  -  2]  moves[||moves||  -  1] 
                                                                              goodAux(g0;G;moves)))
12.  ||moves||  =  (2  *  n)
13.  moves[0]  =  InitialPos(g)
14.  \mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  1)  +  1
            ((\mdownarrow{}Legal1(moves[2  *  i];moves[(2  *  i)  +  1]))
            \mwedge{}  (i  <  n  -  1
                {}\mRightarrow{}  ((\mdownarrow{}Legal2(moves[(2  *  i)  +  1];moves[2  *  (i  +  1)]))
                      \mwedge{}  (moves[2  *  (i  +  1)]
                          =  ((\mlambda{}moves.(F  moves[||moves||  -  2]  moves[||moves||  -  1]  goodAux(g0;G;moves))) 
                                play-truncate(moves;2  *  (i  +  1)))))))
15.  i  :  \mBbbZ{}
16.  0  <  i
17.  i  -  1  <  n
{}\mRightarrow{}  (goodAux(g0;G;play-truncate(moves;2  *  ((i  -  1)  +  1)))  \mmember{}  Good[moves[(2  *  ((i  -  1)  +  1))  -  2]])
18.  i  <  n
\mvdash{}  if  (||play-truncate(moves;2  *  (i  +  1))||  =\msubz{}  2)
    then  g0
    else  let  g  =  goodAux(g0;G;play-truncate(play-truncate(moves;2  *  (i  +  1));||play-truncate(moves;2
                              *  (i  +  1))||  -  2))  in
                      G  play-truncate(moves;2  *  (i  +  1))[||play-truncate(moves;2  *  (i  +  1))||  -  4] 
                      play-truncate(moves;2  *  (i  +  1))[||play-truncate(moves;2  *  (i  +  1))||  -  3] 
                      g
    fi    \mmember{}  Good[moves[(2  *  (i  +  1))  -  2]]


By


Latex:
(D  -2  THENA  Auto)




Home Index