---

Step * 1 1 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma good-sg-win2


1. g : SimpleGame
2. Good : Pos(g) ⟶ ℙ'
3. g0 : Good[InitialPos(g)]
4. ∀p:Pos(g). ∀q:{q:Pos(g)| Legal1(p;q)} . ∀gd:Good[p].  ∃r:{r:Pos(g)| Legal2(q;r)} . Good[r]
5. F : p:Pos(g) ⟶ q:{q:Pos(g)| Legal1(p;q)}  ⟶ gd:Good[p] ⟶ {r:Pos(g)| Legal2(q;r)} 
6. G : ∀p:Pos(g). ∀q:{q:Pos(g)| Legal1(p;q)} . ∀gd:Good[p].  Good[F p q gd]
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. λmoves.(F moves[||moves|| - 2] moves[||moves|| - 1] goodAux(g0;G;moves)) ∈ win2strat(g;n - 1)
10. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
11. moves : strat2play(g;n - 1;λmoves.(F moves[||moves|| - 2] moves[||moves|| - 1] goodAux(g0;G;moves)))
12. ||moves|| = (2 * n) ∈ ℤ
13. (moves[0] = InitialPos(g) ∈ Pos(g))
∧ (∀i:ℕ(n - 1) + 1
     ((↓Legal1(moves[2 * i];moves[(2 * i) + 1]))
     ∧ (i < n - 1
       ⇒ ((↓Legal2(moves[(2 * i) + 1];moves[2 * (i + 1)]))
          ∧ (moves[2 * (i + 1)]
            = ((λmoves.(F moves[||moves|| - 2] moves[||moves|| - 1] goodAux(g0;G;moves))) 
               play-truncate(moves;2 * (i + 1)))
            ∈ Pos(g))))))
14. ∀i:ℕ. (i < n ⇒ (goodAux(g0;G;play-truncate(moves;2 * (i + 1))) ∈ Good[moves[(2 * (i + 1)) - 2]]))
15. goodAux(g0;G;play-truncate(moves;2 * ((n - 1) + 1))) ∈ Good[moves[(2 * ((n - 1) + 1)) - 2]]
16. moves ∈ {moves:sequence(Pos(g))| ((2 * (n - 1)) + 2) ≤ ||moves||} 
⊢ play-truncate(moves;||moves||) ~ moves
BY
{ (GenConcl ⌜moves = mvs ∈ sequence(Pos(g))⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. g : SimpleGame
2. Good : Pos(g) ⟶ ℙ'
3. g0 : Good[InitialPos(g)]
4. ∀p:Pos(g). ∀q:{q:Pos(g)| Legal1(p;q)} . ∀gd:Good[p].  ∃r:{r:Pos(g)| Legal2(q;r)} . Good[r]
5. F : p:Pos(g) ⟶ q:{q:Pos(g)| Legal1(p;q)}  ⟶ gd:Good[p] ⟶ {r:Pos(g)| Legal2(q;r)} 
6. G : ∀p:Pos(g). ∀q:{q:Pos(g)| Legal1(p;q)} . ∀gd:Good[p].  Good[F p q gd]
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. λmoves.(F moves[||moves|| - 2] moves[||moves|| - 1] goodAux(g0;G;moves)) ∈ win2strat(g;n - 1)
10. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
11. moves : strat2play(g;n - 1;λmoves.(F moves[||moves|| - 2] moves[||moves|| - 1] goodAux(g0;G;moves)))
12. ||moves|| = (2 * n) ∈ ℤ
13. (moves[0] = InitialPos(g) ∈ Pos(g))
∧ (∀i:ℕ(n - 1) + 1
     ((↓Legal1(moves[2 * i];moves[(2 * i) + 1]))
     ∧ (i < n - 1
       ⇒ ((↓Legal2(moves[(2 * i) + 1];moves[2 * (i + 1)]))
          ∧ (moves[2 * (i + 1)]
            = ((λmoves.(F moves[||moves|| - 2] moves[||moves|| - 1] goodAux(g0;G;moves))) 
               play-truncate(moves;2 * (i + 1)))
            ∈ Pos(g))))))
14. ∀i:ℕ. (i < n ⇒ (goodAux(g0;G;play-truncate(moves;2 * (i + 1))) ∈ Good[moves[(2 * (i + 1)) - 2]]))
15. goodAux(g0;G;play-truncate(moves;2 * ((n - 1) + 1))) ∈ Good[moves[(2 * ((n - 1) + 1)) - 2]]
16. moves ∈ {moves:sequence(Pos(g))| ((2 * (n - 1)) + 2) ≤ ||moves||} 
17. mvs : sequence(Pos(g))
18. moves = mvs ∈ sequence(Pos(g))
⊢ play-truncate(mvs;||mvs||) ~ mvs

---

Latex:

---

Latex:

1.  g  :  SimpleGame
2.  Good  :  Pos(g)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}'
3.  g0  :  Good[InitialPos(g)]
4.  \mforall{}p:Pos(g).  \mforall{}q:\{q:Pos(g)|  Legal1(p;q)\}  .  \mforall{}gd:Good[p].    \mexists{}r:\{r:Pos(g)|  Legal2(q;r)\}  .  Good[r]
5.  F  :  p:Pos(g)  {}\mrightarrow{}  q:\{q:Pos(g)|  Legal1(p;q)\}    {}\mrightarrow{}  gd:Good[p]  {}\mrightarrow{}  \{r:Pos(g)|  Legal2(q;r)\} 
6.  G  :  \mforall{}p:Pos(g).  \mforall{}q:\{q:Pos(g)|  Legal1(p;q)\}  .  \mforall{}gd:Good[p].    Good[F  p  q  gd]
7.  n  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  n
9.  \mlambda{}moves.(F  moves[||moves||  -  2]  moves[||moves||  -  1]  goodAux(g0;G;moves))  \mmember{}  win2strat(g;n  -  1)
10.  \mneg{}(n  =  0)
11.  moves  :  strat2play(g;n  -  1;\mlambda{}moves.(F  moves[||moves||  -  2]  moves[||moves||  -  1] 
                                                                              goodAux(g0;G;moves)))
12.  ||moves||  =  (2  *  n)
13.  (moves[0]  =  InitialPos(g))
\mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  1)  +  1
          ((\mdownarrow{}Legal1(moves[2  *  i];moves[(2  *  i)  +  1]))
          \mwedge{}  (i  <  n  -  1
              {}\mRightarrow{}  ((\mdownarrow{}Legal2(moves[(2  *  i)  +  1];moves[2  *  (i  +  1)]))
                    \mwedge{}  (moves[2  *  (i  +  1)]
                        =  ((\mlambda{}moves.(F  moves[||moves||  -  2]  moves[||moves||  -  1]  goodAux(g0;G;moves))) 
                              play-truncate(moves;2  *  (i  +  1))))))))
14.  \mforall{}i:\mBbbN{}
            (i  <  n  {}\mRightarrow{}  (goodAux(g0;G;play-truncate(moves;2  *  (i  +  1)))  \mmember{}  Good[moves[(2  *  (i  +  1))  -  2]]))
15.  goodAux(g0;G;play-truncate(moves;2  *  ((n  -  1)  +  1)))  \mmember{}  Good[moves[(2  *  ((n  -  1)  +  1))  -  2]]
16.  moves  \mmember{}  \{moves:sequence(Pos(g))|  ((2  *  (n  -  1))  +  2)  \mleq{}  ||moves||\} 
\mvdash{}  play-truncate(moves;||moves||)  \msim{}  moves


By

---

Latex:
(GenConcl  \mkleeneopen{}moves  =  mvs\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index