---

Step * 3 of Lemma Wleq-Wadd2


1. [A] : Type
2. [B] : A ⟶ Type
3. zero : A ⟶ 𝔹
4. ∀a:A. (¬↑(zero a) ⇐⇒ B[a])
5. a : A
6. f : B[a] ⟶ W(A;a.B[a])
7. ∀b:B[a]. ∀w2,w1:W(A;a.B[a]).  ((w2 ≤  (f b)) ⇒ ((w1 + w2) ≤  (w1 + f b)))
8. a@0 : A
9. ¬↑(zero a@0)
10. f@0 : B[a@0] ⟶ W(A;a.B[a])
11. ∀b:B[a@0]. ∀w1:W(A;a.B[a]).  (((f@0 b) ≤  Wsup(a;f)) ⇒ ((w1 + f@0 b) ≤  (w1 + Wsup(a;f))))
12. ↑(zero a)
⊢ ∀w1:W(A;a.B[a]). ((Wsup(a@0;f@0) ≤  Wsup(a;f)) ⇒ (Wsup(a@0;λx.(w1 + f@0 x)) ≤  w1))
BY
{ (Auto
   THEN RepeatFor 2 (ReduceWcmp (-1))
   THEN FHyp 4 [-6]
   THEN Auto
   THEN RenameVar `x' (-1)
   THEN (InstHyp [⌜x⌝] (-2)⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN FHyp 4 [-2]
   THEN Auto)⋅ }

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [B]  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  zero  :  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  \mforall{}a:A.  (\mneg{}\muparrow{}(zero  a)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  B[a])
5.  a  :  A
6.  f  :  B[a]  {}\mrightarrow{}  W(A;a.B[a])
7.  \mforall{}b:B[a].  \mforall{}w2,w1:W(A;a.B[a]).    ((w2  \mleq{}    (f  b))  {}\mRightarrow{}  ((w1  +  w2)  \mleq{}    (w1  +  f  b)))
8.  a@0  :  A
9.  \mneg{}\muparrow{}(zero  a@0)
10.  f@0  :  B[a@0]  {}\mrightarrow{}  W(A;a.B[a])
11.  \mforall{}b:B[a@0].  \mforall{}w1:W(A;a.B[a]).    (((f@0  b)  \mleq{}    Wsup(a;f))  {}\mRightarrow{}  ((w1  +  f@0  b)  \mleq{}    (w1  +  Wsup(a;f))))
12.  \muparrow{}(zero  a)
\mvdash{}  \mforall{}w1:W(A;a.B[a]).  ((Wsup(a@0;f@0)  \mleq{}    Wsup(a;f))  {}\mRightarrow{}  (Wsup(a@0;\mlambda{}x.(w1  +  f@0  x))  \mleq{}    w1))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  RepeatFor  2  (ReduceWcmp  (-1))
  THEN  FHyp  4  [-6]
  THEN  Auto
  THEN  RenameVar  `x'  (-1)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  FHyp  4  [-2]
  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index