---

Step * 1 of Lemma coW-game-reachable


1. [A] : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. w' : coW(A;a.B[a])
5. f : sequence(Pos(coW-game(a.B[a];w;w')))
6. 0 < ||f||
7. ∀i:ℕ. ((2 * i) + 1 < ||f|| ⇒ (↓Legal1(f[2 * i];f[(2 * i) + 1])))
8. ∀i:ℕ+. (2 * i < ||f|| ⇒ (↓Legal2(f[(2 * i) - 1];f[2 * i])))
⊢ coW-pos-agree(a.B[a];w;w';f[0];f[||f|| - 1])
BY
{ ((Assert ⌜∀n:ℕ. ∀f:sequence(Pos(coW-game(a.B[a];w;w'))).
              ((||f|| ≤ n)
              ⇒ 0 < ||f||
              ⇒ (∀i:ℕ. ((2 * i) + 1 < ||f|| ⇒ (↓Legal1(f[2 * i];f[(2 * i) + 1]))))
              ⇒ (∀i:ℕ+. (2 * i < ||f|| ⇒ (↓Legal2(f[(2 * i) - 1];f[2 * i]))))
              ⇒ coW-pos-agree(a.B[a];w;w';f[0];f[||f|| - 1]))⌝⋅
   THENM (InstHyp [⌜||f||⌝;⌜f⌝] (-1)⋅ THEN Auto)
   )
   THEN RepeatFor 4 (Thin (-1))
   THEN InductionOnNat
   THEN Auto) }

1
1. [A] : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. w' : coW(A;a.B[a])
5. n : ℤ
6. [%1] : 0 < n
7. ∀f:sequence(Pos(coW-game(a.B[a];w;w')))
     ((||f|| ≤ (n - 1))
     ⇒ 0 < ||f||
     ⇒ (∀i:ℕ. ((2 * i) + 1 < ||f|| ⇒ (↓Legal1(f[2 * i];f[(2 * i) + 1]))))
     ⇒ (∀i:ℕ+. (2 * i < ||f|| ⇒ (↓Legal2(f[(2 * i) - 1];f[2 * i]))))
     ⇒ coW-pos-agree(a.B[a];w;w';f[0];f[||f|| - 1]))
8. f : sequence(Pos(coW-game(a.B[a];w;w')))
9. ||f|| ≤ n
10. 0 < ||f||
11. ∀i:ℕ. ((2 * i) + 1 < ||f|| ⇒ (↓Legal1(f[2 * i];f[(2 * i) + 1])))
12. ∀i:ℕ+. (2 * i < ||f|| ⇒ (↓Legal2(f[(2 * i) - 1];f[2 * i])))
⊢ coW-pos-agree(a.B[a];w;w';f[0];f[||f|| - 1])

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  \mBbbU{}'
2.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  w  :  coW(A;a.B[a])
4.  w'  :  coW(A;a.B[a])
5.  f  :  sequence(Pos(coW-game(a.B[a];w;w')))
6.  0  <  ||f||
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((2  *  i)  +  1  <  ||f||  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Legal1(f[2  *  i];f[(2  *  i)  +  1])))
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}\msupplus{}.  (2  *  i  <  ||f||  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Legal2(f[(2  *  i)  -  1];f[2  *  i])))
\mvdash{}  coW-pos-agree(a.B[a];w;w';f[0];f[||f||  -  1])


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}f:sequence(Pos(coW-game(a.B[a];w;w'))).
                        ((||f||  \mleq{}  n)
                        {}\mRightarrow{}  0  <  ||f||
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}.  ((2  *  i)  +  1  <  ||f||  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Legal1(f[2  *  i];f[(2  *  i)  +  1]))))
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}\msupplus{}.  (2  *  i  <  ||f||  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Legal2(f[(2  *  i)  -  1];f[2  *  i]))))
                        {}\mRightarrow{}  coW-pos-agree(a.B[a];w;w';f[0];f[||f||  -  1]))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  (InstHyp  [\mkleeneopen{}||f||\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THEN  Auto)
  )
  THEN  RepeatFor  4  (Thin  (-1))
  THEN  InductionOnNat
  THEN  Auto)

---

Home Index