---

Step * 3 1 1 of Lemma pW-rec_wf


1. P : Type
2. A : P ⟶ Type
3. B : p:P ⟶ A[p] ⟶ Type
4. C : p:P ⟶ a:A[p] ⟶ B[p;a] ⟶ P
5. pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]) ∈ Type
6. pW ∈ P ⟶ Type
7. Q : par:P ⟶ (pW par) ⟶ ℙ
8. ind : par:P
⟶ a:A[par]
⟶ f:(b:B[par;a] ⟶ (pW C[par;a;b]))
⟶ (b:B[par;a] ⟶ Q[C[par;a;b];f b])
⟶ Q[par;pW-sup(a;f)]
9. par : P
10. w : pW par
11. param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) ∈ n:ℕ
    ⟶ (ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))
    ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
    ⟶ ℙ
12. ∀[pp:n:ℕ × (ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))]. (Barred(pp) ∈ ℙ)
13. n : ℕ
14. s : ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
15. ∀%6:ℕn. (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) %6 s (s %6))
16. ∀t:{t:pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])| param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) n s t} 
      (let q,w',d = t in 
       case d
        of inl(b) =>
        let a,f = w' 
        in let ind(p,a,f,G) = ind[p;a;f;G] in 
           letrec F(p,w) = let a,f=w in 
                           ind(p,a,f,λb.F(C[p;a;b],f(b)) in 
           F(C[q;a;b];f b)
        | inr(z) =>
        Ax ∈ let q,w',d = t in 
       case d of inl(b) => let a,f = w' in Q[C[q;a;b];f b] | inr(z) => True)
17. 0 < n
⊢ let q,w',d = s (n - 1) in 
  case d
   of inl(b) =>
   let a,f = w' 
   in let ind(p,a,f,G) = ind[p;a;f;G] in 
      letrec F(p,w) = let a,f=w in 
                      ind(p,a,f,λb.F(C[p;a;b],f(b)) in 
      F(C[q;a;b];f b)
   | inr(z) =>
   Ax ∈ let q,w',d = s (n - 1) in 
  case d of inl(b) => let a,f = w' in Q[C[q;a;b];f b] | inr(z) => True
BY
{ TACTIC:(GenConclAtAddr [2;1] THEN RepeatFor 3 (D -2) THEN Reduce 0 THEN Try (Complete (Auto)))⋅ }

1
1. P : Type
2. A : P ⟶ Type
3. B : p:P ⟶ A[p] ⟶ Type
4. C : p:P ⟶ a:A[p] ⟶ B[p;a] ⟶ P
5. pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]) ∈ Type
6. pW ∈ P ⟶ Type
7. Q : par:P ⟶ (pW par) ⟶ ℙ
8. ind : par:P
⟶ a:A[par]
⟶ f:(b:B[par;a] ⟶ (pW C[par;a;b]))
⟶ (b:B[par;a] ⟶ Q[C[par;a;b];f b])
⟶ Q[par;pW-sup(a;f)]
9. par : P
10. w : pW par
11. param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) ∈ n:ℕ
    ⟶ (ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))
    ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
    ⟶ ℙ
12. ∀[pp:n:ℕ × (ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))]. (Barred(pp) ∈ ℙ)
13. n : ℕ
14. s : ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
15. ∀%6:ℕn. (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) %6 s (s %6))
16. ∀t:{t:pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])| param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) n s t} 
      (let q,w',d = t in 
       case d
        of inl(b) =>
        let a,f = w' 
        in let ind(p,a,f,G) = ind[p;a;f;G] in 
           letrec F(p,w) = let a,f=w in 
                           ind(p,a,f,λb.F(C[p;a;b],f(b)) in 
           F(C[q;a;b];f b)
        | inr(z) =>
        Ax ∈ let q,w',d = t in 
       case d of inl(b) => let a,f = w' in Q[C[q;a;b];f b] | inr(z) => True)
17. 0 < n
18. p : P
19. w1 : pco-W p
20. x : B[p;fst(w1)]
21. (s (n - 1)) = <p, w1, inl x> ∈ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
⊢ let a,f = w1 
  in let ind(p,a,f,G) = ind[p;a;f;G] in 
     letrec F(p,w) = let a,f=w in 
                     ind(p,a,f,λb.F(C[p;a;b],f(b)) in 
     F(C[p;a;x];f x) ∈ let a,f = w1 
                       in Q[C[p;a;x];f x]

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  Type
2.  A  :  P  {}\mrightarrow{}  Type
3.  B  :  p:P  {}\mrightarrow{}  A[p]  {}\mrightarrow{}  Type
4.  C  :  p:P  {}\mrightarrow{}  a:A[p]  {}\mrightarrow{}  B[p;a]  {}\mrightarrow{}  P
5.  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])  \mmember{}  Type
6.  pW  \mmember{}  P  {}\mrightarrow{}  Type
7.  Q  :  par:P  {}\mrightarrow{}  (pW  par)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
8.  ind  :  par:P
{}\mrightarrow{}  a:A[par]
{}\mrightarrow{}  f:(b:B[par;a]  {}\mrightarrow{}  (pW  C[par;a;b]))
{}\mrightarrow{}  (b:B[par;a]  {}\mrightarrow{}  Q[C[par;a;b];f  b])
{}\mrightarrow{}  Q[par;pW-sup(a;f)]
9.  par  :  P
10.  w  :  pW  par
11.  param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w)  \mmember{}  n:\mBbbN{}
        {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))
        {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
        {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
12.  \mforall{}[pp:n:\mBbbN{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]))].  (Barred(pp)  \mmember{}  \mBbbP{})
13.  n  :  \mBbbN{}
14.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
15.  \mforall{}\%6:\mBbbN{}n.  (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w)  \%6  s  (s  \%6))
16.  \mforall{}t:\{t:pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])| 
                param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w)  n  s  t\} 
            (let  q,w',d  =  t  in 
              case  d
                of  inl(b)  =>
                let  a,f  =  w' 
                in  let  ind(p,a,f,G)  =  ind[p;a;f;G]  in 
                      letrec  F(p,w)  =  let  a,f=w  in 
                                                      ind(p,a,f,\mlambda{}b.F(C[p;a;b],f(b))  in 
                      F(C[q;a;b];f  b)
                |  inr(z)  =>
                Ax  \mmember{}  let  q,w',d  =  t  in 
              case  d  of  inl(b)  =>  let  a,f  =  w'  in  Q[C[q;a;b];f  b]  |  inr(z)  =>  True)
17.  0  <  n
\mvdash{}  let  q,w',d  =  s  (n  -  1)  in 
    case  d
      of  inl(b)  =>
      let  a,f  =  w' 
      in  let  ind(p,a,f,G)  =  ind[p;a;f;G]  in 
            letrec  F(p,w)  =  let  a,f=w  in 
                                            ind(p,a,f,\mlambda{}b.F(C[p;a;b],f(b))  in 
            F(C[q;a;b];f  b)
      |  inr(z)  =>
      Ax  \mmember{}  let  q,w',d  =  s  (n  -  1)  in 
    case  d  of  inl(b)  =>  let  a,f  =  w'  in  Q[C[q;a;b];f  b]  |  inr(z)  =>  True


By

---

Latex:
TACTIC:(GenConclAtAddr  [2;1]  THEN  RepeatFor  3  (D  -2)  THEN  Reduce  0  THEN  Try  (Complete  (Auto)))\mcdot{}

---

Home Index